Слабке гравітаційне поле

Рівняння Ейнштейна, виведене із принципів загальної теорії відносності:

$(1)R_{ij}-\frac{R}{2}{g}_{ij}=k{T}_{ij}$

є нелінійним диференціальним рівнянням другого порядку щодо невідомих компонент метричного тензора $g_{ij}$. Існує практичний інтерес випадок настільки слабкого гравітаційного поля, щоб нелінійностями можна було знехтувати і одержати наближене рівняння, яке близьке до класичного закону Всесвітнього тяжіння, але з релятивістськими поправками. Це наближене рівняння можна застосовувати в межах Сонячної системи і навіть при розгляді галактик — адже типові швидкості зірок в галактиках більш ніж у тисячу разів менші за швидкість світла.

Є ще одна причина розглянути лінеаризоване рівняння (1) - знайти константу $k$ при тензорі енергії-імпульсу, яка залишилася невідомою при виводі рівняння Ейнштейна (1).

Лінеаризація рівняння Ейнштейна

Знаходження варіації тензора Річчі

Нехай ми маємо якийсь розподіл матерії в просторі (який задано компонентами тензора енергії-імпульсу $T_{ij}$ як функціями координат). І нехай для цього (базового) розподілу рівняння (1) уже розв'язане, тобто відомий метричний тензор $g_{ij}$, а отже і тензор Рімана $R_{ijk}^s$. Поряд з цим базовим розподілом матерії $T_{ij}$ розглянемо і дещо змінений розподіл ${\tilde{T}}_{ij}$:

$(2){\tilde{T}}_{ij}=T_{ij}+\delta T_{ij}$

який відрізняється від базового на малу величину $\delta T_{ij}$. Звичайно, мализну цієї добавки ми визначаємо так, щоб в результаті розв'язку рівняння (1) з новим тензором ${\tilde{T}}_{ij}$ ми одержали малу (порівняно з одиницею) зміну метричного тензора:

$(3){\tilde{g}}_{ij}=g_{ij}+\delta g_{ij};\left|\delta g_{ij}\right|\ll 1$

Звичайно, за земними мірками тензор $\delta T_{ij}$ може бути не таким вже й маленьким — наприклад планетою, зіркою, газовою туманністю, головне щоб зміна метричного тензора $\delta g_{ij}$ була малою. Цю зміну $\delta g_{ij}$ ми називатимемо варіацією, її ми і будемо шукати (базове рівняння вважається розв'язаним). Із варіації метричного тензора $\delta g_{ij}$ можна досить легко одержати варіації символів Крістофеля $\delta {\mathrm{\Gamma }}_{ij}^s$ і тензора Рімана $R_{ijk}^s$ (подробиці обчислень в статті Допоміжні інтеграли з варіаціями):

$(4)\delta {\mathrm{\Gamma }}_{ij}^s=\frac{1}{2}{g}^{sp}({\mathrm{\nabla }}_i\delta g_{pj}+{\mathrm{\nabla }}_j\delta g_{ip}-{\mathrm{\nabla }}_p\delta g_{ij})$

$(5)\delta R_{ijk}^s={\mathrm{\nabla }}_j\delta {\mathrm{\Gamma }}_{ki}^s-{\mathrm{\nabla }}_k\delta {\mathrm{\Gamma }}_{ji}^s$

Для наших цілей треба обчислити в першу чергу варіацію тензора Річчі $\delta R_{ij}$. Згорнемо формулу (5) за індексами $(sj)$ і підставимо сюди варіації символів Крістофеля $\delta {\mathrm{\Gamma }}_{ij}^s$ із формули (4). Зручно також домножити одержану формулу на два, щоб компенсувати коефіцієнт в правій частині (4):

$(6)2\delta R_{ik}=2{\mathrm{\nabla }}_s\left(\delta {\mathrm{\Gamma }}_{ki}^s\right)-2{\mathrm{\nabla }}_k\left(\delta {\mathrm{\Gamma }}_{si}^s\right)=g^{sp}{\mathrm{\nabla }}_s({\mathrm{\nabla }}_k\delta g_{pi}+{\mathrm{\nabla }}_i\delta g_{kp}-{\mathrm{\nabla }}_p\delta g_{ki})-g^{sp}{\mathrm{\nabla }}_k({\mathrm{\nabla }}_s\delta g_{pi}+{\mathrm{\nabla }}_i\delta g_{sp}-{\mathrm{\nabla }}_p\delta g_{si})$

Звернемо увагу на перший і третій доданки в останніх дужках: ${\mathrm{\nabla }}_s\delta g_{pi}$ і $-{\mathrm{\nabla }}_p\delta g_{si}$. Вони переходять один в другий (з відповідним знаком) при перестановці індексів $(p,s)$. Але вся ця дужка згортається із симетричним тензором $g^{ps}$, в результаті згортки ці два доданки взаємо-знищуюються, і ми одержуємо наступну формулу для варіації тензора Річчі (заодно перейменуємо заради естетики індекс $k$ на $j$):

$(7)2\delta R_{ij}={\mathrm{\nabla }}^p{\mathrm{\nabla }}_j\delta g_{pi}+{\mathrm{\nabla }}^p{\mathrm{\nabla }}_i\delta g_{pj}-\left(g^{sp}{\mathrm{\nabla }}_s{\mathrm{\nabla }}_p\right)\delta g_{ij}-{\mathrm{\nabla }}_j{\mathrm{\nabla }}_i\left(g^{sp}\delta g_{sp}\right)$

Оператор в третьому доданку - це просто лапласіан ${\mathrm{\nabla }}^2$ (оператор Лапласа — Бельтрамі). Останній доданок є симетричним по індексах $(ij)$ як друга похідна скаляра:

$(8){\mathrm{\nabla }}_j{\mathrm{\nabla }}_i\varphi ={\mathrm{\nabla }}_j\left({\partial }_i\varphi \right)={\partial }_i{\partial }_j\varphi -{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^s{\partial }_s\varphi$

а перші два доданки переходять один в другий при перестановці індексів $(ij)$. Перепишемо формулу (7) ще раз:

$(9)2\delta R_{ij}={\mathrm{\nabla }}^p{\mathrm{\nabla }}_j\delta g_{pi}+{\mathrm{\nabla }}^p{\mathrm{\nabla }}_i\delta g_{pj}-{\mathrm{\nabla }}^2\delta g_{ij}-{\mathrm{\nabla }}_i{\mathrm{\nabla }}_j\left(g^{sp}\delta g_{sp}\right)$

Лінійна заміна змінних

Формула (9) лінійна щодо невідомих варіацій метричного тензора $\delta g_{ij}$, але надто громіздка. Сюди входять різнородні другі похідні, до того ж компоненти невідомих $\delta g_{ij}$ перемішані. Очевидно, ця ж неприємність залишиться, якщо ми будемо обчислювати варіацію від тензора Ейнштейна:

$(10)G_{ij}=R_{ij}-\frac{R}{2}{g}_{ij}$

Допомогти може лінійна заміна невідомих (ми діагоналізуємо лінійні рівняння). В загальному випадку ми вводимо нові невідомі - тензор $h_{ij}$, через який виражаються варіації метричного тензора:

$(11)\delta g_{ij}=a_{ij}^{kl}{h}_{kl}$

Що робити далі, підходи відрізняються для математика і фізика. Математик підставить (11) в лінеаризоване рівняння Ейнштейна, і шукатиме зв'язки на постійні коефіцієнти $a_{ij}^{kl}$, при яких лінеаризоване рівняння Ейнштейна спроститься. Фізик же може скористатися міркуваннями симетрії та інтуїцією, щоб відгадати вид найкращої заміни змінних. Дійсно, оскільки рівняння Ейнштейна тензорне, то і коефіцієнти (11) мають бути тензорами. Просто якийсь довільний тензор зі сторони може тільки ускладнити задачу. Тому розглянемо в першу чергу такі коефіцієнти $a_{ij}^{kl}$, які залежать тільки від метричного тензора $g_{ij}$. І навіть конкретніше, спробуємо заміну, аналогічну тому, як в формулі (10) тензор Ейнштейна $G_{ij}$ залежить від тензора Річчі $R_{ij}$. Отже, нехай:

$(12)\delta g_{ij}=h_{ij}-\frac{h}{2}{g}_{ij};h=g^{ij}{h}_{ij}$

Ця заміна оборотна, і ми можемо виразити $h_{ij}$ через $\delta g_{ij}$. Для цього знайдемо слід формули (12):

$(13)g^{ij}\delta g_{ij}=g^{ij}{h}_{ij}-\frac{h}{2}{g}^{ij}{g}_{ij}=h-2h=-h$

Тут ми скористалися формулою згортки метричного тензора (дивіться Прості обчислення диференціальної геометрії):

$(14)g^{ij}{g}_{ij}=4$

Із формул (12) і (13) знаходимо:

$(15)h_{ij}=\delta g_{ij}-\frac{1}{2}\left(g^{ps}\delta g_{ps}\right)g_{ij}$

Підставимо заміну (12) і (13) в перший, другий і четвертий доданок формули (9). Одержуємо:

$(16)2\delta R_{ij}={\mathrm{\nabla }}^p{\mathrm{\nabla }}_j{h}_{pi}-\frac{g_{pi}}{2}{\mathrm{\nabla }}^p{\mathrm{\nabla }}_{j}h+{\mathrm{\nabla }}^p{\mathrm{\nabla }}_i{h}_{pj}-\frac{g_{pj}}{2}{\mathrm{\nabla }}^p{\mathrm{\nabla }}_{i}h-{\mathrm{\nabla }}^2\delta g_{ij}+{\mathrm{\nabla }}_i{\mathrm{\nabla }}_{j}h$

Очевидно, мішана похідна ${\mathrm{\nabla }}_i{\mathrm{\nabla }}_{j}h$ скорочується, і ми одержуємо рівняння з трьома доданками:

$(17)2\delta R_{ij}={\mathrm{\nabla }}^p{\mathrm{\nabla }}_j{h}_{pi}+{\mathrm{\nabla }}^p{\mathrm{\nabla }}_i{h}_{pj}-{\mathrm{\nabla }}^2\delta g_{ij}$

Далі, придивимося уважніше до перших двох доданків формули (12). Ми можемо і їх обнулити, якщо дивергенція від $h_{ij}$ дорівнюватиме нулю:

$(18){\mathrm{\nabla }}^j{h}_{ij}=0$

Але чи можемо ми сподіватися на цю рівність? Відповідь ствердна, оскільки в компонент метричного тензора є чотири степені свободи, коли сам многовид чотиривимірного простору-часу і його метрика не змінюються, а міняється тільки система координат. Дійсно, нехай нові координати ${\hat{x}}^i$ відрізняються від старих на малий вектор $v^i$:

$(19){\hat{x}}^i=x^i+v^i;\frac{\partial {\hat{x}}^i}{\partial x^j}={\delta }_j^i+\frac{\partial v^i}{\partial x^j}$

Деяка точка $P$ має координати ${\hat{x}}^i$ в нових координатах і $x^i+v^i$ в старих. Запишемо квадрат "відстані" від цієї точки до близької точки $P^{\prime }$ в нових і старих координатах:

$(20)d{s}^2={\hat{g}}_{ij}(\hat{x})d{\hat{x}}^{i}d{\hat{x}}^j=g_{ij}(x+v)d{x}^{i}d{x}^j$

Тоді метричні тензори в цих системах координат відрізняються на величину:

$(21)\delta g{\text{'}}_{ij}={\hat{g}}_{ij}(\hat{x})-g_{ij}(x)=-({\mathrm{\nabla }}_i{v}_j+{\mathrm{\nabla }}_j{v}_i)$

Якщо ми до варіації $\delta g_{ij}$ в формулі (15) додамо неістотний доданок (21) і візьмемо дивергенцію, то матимемо рівняння для вектора $v^i$ (чотири диференціальні рівняння з чотирма невідомими):

$(22)0={\mathrm{\nabla }}^j{h}_{ij}={\mathrm{\nabla }}^j(\delta g_{ij}-\frac{1}{2}\left(g^{ps}\delta g_{ps}\right)g_{ij})-{\mathrm{\nabla }}^j({\mathrm{\nabla }}_i{v}_j+{\mathrm{\nabla }}_j{v}_i)+\frac{1}{2}{\mathrm{\nabla }}_i(2{\mathrm{\nabla }}^s{v}_s)$

Припустмо, що ці рівняння розв'язуються, тоді при варіації метрики $\delta g_{ij}$ ми синхронно змінюємо систему координаттаким чином, щоб лінеаризоване рівняння Ейнштейна було найпростішим.

Маючи рівність (18), обчислимо перший доданок (17), записуючи дію комутатора коваріантних похідних на тензор $h_{ij}$ через суму згорток (за кожним з двох індексів) цього тензора з тензором Рімана:

$(23){\mathrm{\nabla }}^p{\mathrm{\nabla }}_j{h}_{pi}=\left[{\mathrm{\nabla }}^p{\mathrm{\nabla }}_j\right]h_{pi}=-R_j^s{h}_{si}-R_{sipj}{h}^{sp}$

тоді формула (17) запишеться так:

$(24)2\delta R_{ij}=-{\mathrm{\nabla }}^2{g}_{ij}-(R_i^s{h}_{sj}+R_j^s{h}_{si})-2R_{sipj}{h}^{sp}$

У цій формулі ми перенесли доданки з кривиною на кінець, оскільки вони звичайно малі у порівнянні з першим доданком. Їх треба враховувати хіба що в задачі визначення траєкторії руху гравітаційні хвилі в гравітаційному полі.

Якщо ми візьмемо за базовий розв'язок плоский простір без матерії:

$(25)T_{ij}=0;R_{ijk}^s=0$

то одержимо досить просту формулу для варіації тензора Річчі:

$(26)\delta R_{ij}=-\frac{1}{2}{\mathrm{\nabla }}^2\delta g_{ij}$

Завершення виводу лінеаризованого рівняння

Маючи варіацію тензора Річчі (26), і умову $R_{ijkl}=0$, знайдемо спочатку варіацію скалярної кривини:

$(27)\delta R=\delta \left(g^{ij}{R}_{ij}\right)=g^{ij}\delta R_{ij}=\frac{1}{2}{\mathrm{\nabla }}^{2}h$

Далі шукаємо варіацію тензора Ейнштейна:

$(28)\delta G_{ij}=\delta R_{ij}-\frac{1}{2}\delta \left(g_{ij}R\right)=-\frac{1}{2}{\mathrm{\nabla }}^2\delta g_{ij}-\frac{1}{2}{g}_{ij}\left(\frac{1}{2}{\mathrm{\nabla }}^{2}h\right)=-\frac{1}{2}{\mathrm{\nabla }}^2(\delta g_{ij}+\frac{h}{2}{g}_{ij})=-\frac{1}{2}{\mathrm{\nabla }}^2{h}_{ij}$

Таким чином, лінеаризоване рівняння Ейнштейна має такий вигляд:

$(29)-\frac{1}{2}{\mathrm{\nabla }}^2{h}_{ij}=k{T}_{ij}$

Порівняння з формулами для класичної теорії Всесвітнього тяжіння

Нехай ми маємо статичний розподіл мас у тривимірному просторі:

$(30)\rho =\rho (x,y,z)$

Тензор енергії-імпульсу приблизно матиме такий вигляд:

$(31)(T_{ij})=\left[\begin{array}{cccc}\rho c^2& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

оскільки тензор напруг речовини ${\sigma }_{ij}$ набагато менший за величиною за енергію спокою $\rho c^2$, і ним можна знехтувати.

Система рівнянь (29) є діагональною в декартовій системі координат, і розпадається на 16 незалежних рівнянь, по одному на кожну компоненту $h_{ij}$. Маючи на увазі (31), тільки одне з цих рівнянь має ненульову праву частину:

$(32)-\frac{1}{2}{\mathrm{\nabla }}^2{h}_{00}=k{c}^2\rho$

Решту п'ятнадцять рівнянь легко розв'язати, вибравши нульовий розв'язок: $h_{ij}=0$ коли індекси не дорівнюють нулю одночасно. Тепер матриця шуканого тензора $h_{ij}$ матиме вигляд, аналогічний до (31):

$(33)(h_{ij})=\left[\begin{array}{cccc}{h}_{00}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

Для рівняння (32), з огляду на (30), можна шукати статичний розв'язок:

$(34)h_{00}=h_{00}(x,y,z)$

Для цього нам досить пересвідчитися, що система чотирьох рівнянь (18) автоматично задовольняється. Нетривіальне рівняння маємо лише одне із чотирьох, коли $i=0$:

$(35){\mathrm{\nabla }}^j{h}_{0j}={\partial }_0{h}_{00}-{\partial }_1{h}_{01}-{\partial }_2{h}_{02}-{\partial }_3{h}_{03}=0$

Перший доданок перетворюється в нуль, оскільки згідно з (34) $h_{00}$ не залежить від часу. Решта доданків дорівнюють нулю оскільки $h_{0i}=0$ в матриці (33). Чотиривимірний оператор Лапласа в формулі (32) в декартовій системі координат записується як даламберіан:

$(36){\mathrm{\nabla }}^2=◻=\frac{{\partial }^2}{{\left(\partial x^0\right)}^2}-\mathrm{\Delta }$

де грецькою буквою $\mathrm{\Delta }$ позначено тривимірний оператор Лапласа:

$(37)\mathrm{\Delta }=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}$

Оскільки похідна по часовій змінній $x^0$ від функції (34) дорівнює нулю, то формулу (32) ми можемо записати виключно в тривимірних координатах:

$(38)\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }{h}_{00}=k{c}^2\rho$

Тепер ми можемо порівняти формулу (38) з класичною формулою для гравітаційного потенціалу $\varphi$:

$(39)\mathrm{\Delta }\varphi =4\pi G\rho$

Величина $h_{00}$ і гравітаційний потенціал $\varphi$ пов'язані між собою через часову компонету метричного тензора:

$(40){\tilde{g}}_{00}=1+\frac{2\varphi }{c^2}$

$(41){\tilde{g}}_{00}=g_{00}+h_{00}-\frac{h}{2}{g}_{00}=1+\frac{h_{00}}{2};(h=g^{ij}{h}_{ij}=h_{00})$

звідки отримуємо:

$(42)\frac{2}{c^2}\varphi =\frac{1}{2}{h}_{00}$

Взявши тривимірний лапласіан $\mathrm{\Delta }$ від правої і лівої частин рівняння (42), легко знаходимо невідомий раніше коефіцієнт $k$ рівняння Ейнштейна:

$(43)\frac{2}{c^2}4\pi G\rho =k{c}^2\rho$

$(44)k=\frac{8\pi G}{c^4}$

Деформація метрики в слабкому гравітаційному полі

Формули (42) і (33) дають змогу записати тензор $h_{ij}$ через гравітаційний потенціал:

$(45)h_{00}=\frac{4\varphi }{c^2};h_{ij}=0\text{ if }(ij)\ne 00$

Із формули (12) знаходимо компоненти метричного тензора:

$(46)g_{00}=g_{00}+h_{00}-\frac{h_{00}}{2}{g}_{00}=1+\frac{h_{00}}{2}=1+\frac{2\varphi }{c^2}$

${\tilde{g}}_{ii}=g_{ii}+h_{ii}-\frac{h_{00}}{2}{g}_{ii}=-1+0-\frac{2\varphi }{c^2}(-1)=-1+\frac{2\varphi }{c^2};i=\{1,2,3\}$

${\tilde{g}}_{ij}=g_{ij}+h_{ij}-\frac{h_{00}}{2}{g}_{ij}=0+0-0=0;i\ne j$

Ці формули ми можемо записати у вигляді матриці:

$(47)({\tilde{g}}_{ij})=\left[\begin{array}{cccc}1+\frac{2\varphi }{c^2}& 0& 0& 0\\ 0& -1+\frac{2\varphi }{c^2}& 0& 0\\ 0& 0& -1+\frac{2\varphi }{c^2}& 0\\ 0& 0& 0& -1+\frac{2\varphi }{c^2}\end{array}\right]$

Оскільки гравітаційний потенціал від'ємний, то з формули (47) слідує, що під дією сили тяжіння плин часу уповільнюється:

$(48){\tilde{g}}_{00}<1$

а простір в такій же пропорції розтягується:

$(49)\left|{\tilde{g}}_{ii}\right|>1$

Теоретичні наслідки лінеаризованого рівняння Ейнштейна

Із рівняння (29) можна вивести, аналогічно запізнюючим потенціалам в електродинаміці, що гравітаційне поле поширюється не миттєво, а зі швидкістю світла. Більше того, можна одержати рівняння для гравітаційних хвиль. Є ще один цікавий ефект - породження аналога сили Коріоліса внаслідок обертання мас. Тобто, наприклад площина коливань маятника Фуко на полюсі Землі не буде фіксованою щодо віддалених зірок, а повільно обертатиметься (дивіться статтю Обертання інерційної системи відліку). Описані вище ефекти дуже малі і не підтверджені експериментально. Такі експерименти можуть підтвердити або спростувати загальну теорію відносності.

Література

• Шаблон:Cite book