Серія 1 + 1 + 1 + 1 + …

Ряд 1 + 1 + 1 + 1 + ... - розбіжний ряд, тобто без кінцевої суми за основним визначенням. Його часткові суми зростають до нескінченності. Його також можна зберегти як $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^0.$

Якщо така серія з’являється під час аналізу фізичних явищ, її іноді можна інтерпретувати, застосовуючи регуляризацію дзета-функцією, тобто в цьому випадку вказуючи значення дзета-функції Рімана в точці $s=0$

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}=\frac{1}{1-2^{1-s}}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n^s}.$

Обидва вирази, наведені вище, не є «обчислювальними» для нульового значення, тому використовується аналітичне продовження дзета-функції Рімана

$\zeta (s)=2^s{\pi }^{s-1}\sin \left(\frac{\pi s}{2}\right)\mathrm{\Gamma }(1-s)\zeta (1-s).$

Завдяки йому (знаючи це $\mathrm{\Gamma }(1)=1$ ) ми отримуємо

$\zeta (0)=\frac{1}{\pi }\underset{s\to 0}{\lim }\sin \left(\frac{\pi s}{2}\right)\zeta (1-s)=\frac{1}{\pi }\underset{s\to 0}{\lim }(\frac{\pi s}{2}-\frac{{\pi }^3{s}^3}{48}+\dots )(-\frac{1}{s}+\dots )=-\frac{1}{2},$

де розкладання в степеневий ряд $\zeta (s)$ в навколишньому середовищі $s=1$ відбувається тому, що $\zeta (s)$ у ньому є один полюс із залишком, рівним 1. У цьому сенсі $1+1+1+1+\dots =\zeta (0)=-\frac{1}{2}$ .

Дивіться також

• Ряд Гранді
• 1 + 2 + 3 + 4 + ...
• Z-перетворення