Рівняння руху суцільного середовища

Шаблон:Механіка суцільних середовищ Рівня́ння ру́ху суці́льного середо́вища (Шаблон:Lang-en) — векторне рівняння, яке описує баланс імпульсу для суцільного середовища.

Історична довідка

Рівняння руху в загальному вигляді вперше було отримане Коші на початку 1820-х років (коротка публікація у 1823 році, повна публікація побачила світ у 1828 році).

Загальний вигляд рівняння

У декартовій системі координат три проєкції рівняння руху суцільного середовища мають виглядШаблон:Sfn:

$\rho (\frac{\partial v_x}{\partial t}+v_x\frac{\partial v_x}{\partial x}+v_y\frac{\partial v_x}{\partial y}+v_z\frac{\partial v_x}{\partial z})=\frac{\partial p_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial p_{xy}}{\partial y}+\frac{\partial p_{xz}}{\partial z}+\rho F_x,$

$\rho (\frac{\partial v_y}{\partial t}+v_x\frac{\partial v_y}{\partial x}+v_y\frac{\partial v_y}{\partial y}+v_z\frac{\partial v_y}{\partial z})=\frac{\partial p_{yx}}{\partial x}+\frac{\partial p_{yy}}{\partial y}+\frac{\partial p_{yz}}{\partial z}+\rho F_y,$

$\rho (\frac{\partial v_z}{\partial t}+v_x\frac{\partial v_z}{\partial x}+v_y\frac{\partial v_z}{\partial y}+v_z\frac{\partial v_z}{\partial z})=\frac{\partial p_{zx}}{\partial x}+\frac{\partial p_{zy}}{\partial y}+\frac{\partial p_{zz}}{\partial z}+\rho F_z,$

де $\rho (x,y,z,t)$ — густина суцільного середовища, $v_x(x,y,z,t)$, $v_y(x,y,z,t)$, $v_z(x,y,z,t)$ — проєкції швидкості середовища, $p_{ij}$ — компоненти тензора напружень, $F_x(x,y,z,t)$, $F_y(x,y,z,t)$, $F_z(x,y,z,t)$ — компоненти вектора питомих об'ємних сил, що діють на суцільне середовище (питома сила у розрахунку на одиницю маси). Якщо система відліку, що використовується, не є інерційною, то до числа об'ємних сил слід включати сили інерції.

Вирази, що записані у дужках лівих частин рівнянь, є проєкціями прискорення, тому у деякому сенсі рівняння руху можна розглядати як узагальнення другого закону Ньютона для матеріальної точки сталої маси на випадок суцільного середовища.

У довільній криволінійній системі координат рівняння руху запишеться у виглядіШаблон:Sfn

$\rho (\frac{\partial v^i}{\partial t}+v^k{\mathrm{\nabla }}_k{v}^i)={\mathrm{\nabla }}_k{p}^{ik}+\rho F^i,i=1,2,3,$

де символ ${\mathrm{\nabla }}_i$ означає коваріантну похідну по $i$-ій координаті, а по повторюваному індексу $k$ робиться сумування від одного до трьох.

Спеціальні форми рівняння

Якщо суцільне середовище перебуває у спокої (відносно обраної системи координат), $\overrightarrow{v}\equiv 0$, то рівняння руху перетворюються у рівняння рівноваги

$0=\frac{\partial p_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial p_{xy}}{\partial y}+\frac{\partial p_{xz}}{\partial z}+\rho F_x,$

$0=\frac{\partial p_{yx}}{\partial x}+\frac{\partial p_{yy}}{\partial y}+\frac{\partial p_{yz}}{\partial z}+\rho F_y,$

$0=\frac{\partial p_{zx}}{\partial x}+\frac{\partial p_{zy}}{\partial y}+\frac{\partial p_{zz}}{\partial z}+\rho F_z.$

Частковими випадками рівняння руху є

• Рівняння Ейлера (рівняння руху для ідеальної рідини);
• Рівняння Нав'є — Стокса (рівняння руху лінійно-в'язкої рідини);
• Рівняння Нав'є — Ламе (рівняння руху для малих деформацій лінійно-пружного середовища).

Джерела

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга