Рівняння Пікара–Фукса

У математиці рівняння Пікара–Фукса, яке назване на честь Еміля Пікара та Лазаря Фукса, це лінійне звичайне диференціальне рівняння, розв'язки якого описують періоди еліптичних кривих.

Означення

Нехай

$j=\frac{g_2^3}{g_2^3-27g_3^2}$

є j-інваріантом з модулярними інваріантами $g_2$ і $g_3$ еліптичної кривої, записаної у формі Вейєрштрасса :

$y^2=4x^3-g_{2}x-g_3.$

Зауважте, що j -інваріант є ізоморфізмом ріманової поверхні $ℍ/\mathrm{\Gamma }$ до сфери Рімана $ℂ\cup \{\mathrm{\infty }\}$ ; де $ℍ$ — верхня півплощина і $\mathrm{\Gamma }$ — модулярна група.

Тоді рівняння Пікара–Фукса має вигляд

$\frac{d^{2}y}{d{j}^2}+\frac{1}{j}\frac{dy}{dj}+\frac{31j-4}{144j^2(1-j{)}^2}y=0.$

Також рівняння може бути записане у самоспряженій формі, без першої похідної:

$\frac{d^{2}f}{d{j}^2}+\frac{1-1968j+2654208j^2}{4j^2(1-1728j{)}^2}f=0.$

Розв'язки

Це рівняння можна звести до гіпергеометричного диференціального рівняння. Воно має два лінійно незалежних розв'язки, які називаються періодами еліптичних функцій. Відношення двох періодів дорівнює Шаблон:Не перекладено $\tau$, стандартній координаті на верхній півплощині в теорії еліптичних кривих. Відношення двох розв'язків гіпергеометричного рівняння також відоме в математиці як Шаблон:Не перекладено.

Рівняння Пікара–Фукса можна привести до форми Шаблон:Не перекладено, і, таким чином, його розв'язки можна безпосередньо записувати через P-функцію Рімана . Справедливою є наступна рівність:

$y(j)=P\left\{\begin{array}{cccc}0& 1& \mathrm{\infty }& \\ 1/6& 1/4& 0& j\\ -1/6& 3/4& 0& \end{array}\right\}$

У своєму листі до Борхардта Дедекінд визначає j -функцію її похідною Шварца:

$2(S\tau )(j)=\frac{1-\frac{1}{4}}{(1-j{)}^2}+\frac{1-\frac{1}{9}}{j^2}+\frac{1-\frac{1}{4}-\frac{1}{9}}{j(1-j)}=\frac{3}{4(1-j{)}^2}+\frac{8}{9j^2}+\frac{23}{36j(1-j)}$

де $(Sf)(x)$ є Шаблон:Не перекладено від $f$ відносно $x$.

Узагальнення

В алгебраїчній геометрії було показано, що це рівняння є дуже спеціальним випадком загального явища, зв'язності Гаусса–Маніна .

Список літератури

• Шаблон:Citation
• J. Harnad and J. McKay, Modular solutions to equations of generalized Halphen type, Proc. R. Soc. Lond. A 456 (2000), 261—294,
• J. Harnad, Picard–Fuchs Equations, Hauptmodul and Integrable Systems, Chapter 8 (Pgs. —) of Integrability: The Seiberg–Witten and Witham Equation (Eds. HW Braden and IM Krichever, Gordon and Breach, Amsterdam (2000))). arXiv:solv-int/9902013
• Для детального виведення рівняння Пікара-Фукса дивіться: Шаблон:Citation