Рівняння Блоха

Рівняння Блоха — феноменологічні рівняння, що описуть еволюцію намагніченості у системах із двома часами релаксації. Вони широко використовуються в теорії ядерного магнітного резонансу, ядерної магнітної томографії та електронного парамагнітного резонансу. Рівняння запропонував 1946 року Фелікс Блох. Аналог рівнянь Блоха, що використовується в оптиці, називають рівняннями Максвелла — Блоха.

Рівняння Блоха в лабораторній системі відліку

Нехай M(t) = (M_x(t), M_y(t), M_z(t)) є ядерною намагніченістю. Тоді рівняння Блоха записуються:

$\frac{d{M}_x(t)}{dt}=\gamma (𝐌(t)\times 𝐁(t){)}_x-\frac{M_x(t)}{T_2},$

$\frac{d{M}_y(t)}{dt}=\gamma (𝐌(t)\times 𝐁(t){)}_y-\frac{M_y(t)}{T_2},$

$\frac{d{M}_z(t)}{dt}=\gamma (𝐌(t)\times 𝐁(t){)}_z-\frac{M_z(t)-M_0}{T_1},$

де $\gamma$ — гіромагнітне співвідношення, а $𝐁(t)=(B_x(t),B_y(t),B_0+\mathrm{\Delta }{B}_z(t))$ — магнітне поле, що діє на ядро. z-ва складова магнітного поля B часто є сумою двох членів:

• перший, $B_0$, сталий у часі,
• інший, $\mathrm{\Delta }{B}_z(t)$, може залежати від часу. У магнітно-резонансній томографії він допомагає декодувати сигнал ЯМР.

M(t) × B(t) позначає векторний добуток. M₀ є постійною намагніченістю, що орієнтована вздовж осі z. T₁ та T₂ - часи релаксації, поздовжньої та поперечної.

Без врахування релаксації (в граничному випадку $T_1,T_2\to \mathrm{\infty }$ рівняння спрощується до

$\frac{d𝐌(t)}{dt}=\gamma 𝐌(t)\times 𝐁(t)$,

що описує Ларморову прецесію намагніченості.

У матричній формі рівняння мають вигляд:

$\frac{d}{dt}\left(\begin{array}{c}{M}_x\\ M_y\\ M_z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{1}{T_2}& \gamma B_z& -\gamma B_y\\ -\gamma B_z& -\frac{1}{T_2}& \gamma B_x\\ \gamma B_y& -\gamma B_x& -\frac{1}{T_1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{M}_x\\ M_y\\ M_z\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ \frac{M_0}{T_1}\end{array}\right)$

Рівняння Блоха є макроскопічними, тобто вони описують усереднену намагніченість великого числа ядер.

Рівняння Блоха в системі відліку, що обертається

Вектор намагніченості обертається з ларморовою частотою в постійному магнітному полі. Тому рівняння Блоха набувають зручної форми в такій системі відліку. Зокрема, якщо не враховувати поперечну релаксацію, поперечна складова намагніченості залишається сталою.

У змінному поперечному полі, що задається формулами

$B_x(t)=B_1\cos \omega t$

$B_y(t)=-B_1\sin \omega t$

$B_z(t)=B_0$,

вводячи позначення $ϵ=\gamma B_1$ та $\mathrm{\Delta }=\gamma B_0-\omega ,$

матрична форма рівнянь Блоха набирає вигляду

$\frac{d}{dt}\left(\begin{array}{c}M{\text{'}}_x\\ M{\text{'}}_y\\ M{\text{'}}_z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{1}{T_2}& \mathrm{\Delta }& 0\\ -\mathrm{\Delta }& -\frac{1}{T_2}& ϵ\\ 0& -ϵ& -\frac{1}{T_1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}M{\text{'}}_x\\ M{\text{'}}_y\\ M{\text{'}}_z\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ \frac{M_0}{T_1}\end{array}\right).$

Тут

$M_{x^{\prime }y}(t)=e^{+i\mathrm{\Omega }t}{M}_{xy}(t)={M_x}^{\prime }+i{M_y}^{\prime }$

${M_z}^{\prime }(t)=M_z(t).$

$\mathrm{\Omega }$ - частота обертання системи відліку, що в особливо зручному випадку дорівнює ларморовій частоті ${\omega }_0=\gamma B_0.$