Розподіл Ломакса

Шаблон:Розподіл ймовірностей Розподіл Ломакса, іноді його ще умовно називають розподілом Парето II типу, є розподілом ймовірностей з так званим "грубим хвостом", який використовується в бізнесі, економіці, актуарній науці, теорії масового обслуговування та моделюванні інтернет-трафіку. Названий на честь К. С. Ломакса. По суті, це розподіл Парето, який був зміщений настільки щоб його носій починався з нуля.

Характеристика

Функція густина

Функція густини розподілу Ломакса визначається як

$p(x)=\frac{\alpha }{\lambda }{\left[1+\frac{x}{\lambda }\right]}^{-(\alpha +1)},x\ge 0,$

з параметром форми $\alpha >0$ і параметром масштабу $\lambda >0$. Густину можна переписати таким чином, щоб більш чітко показувати зв'язок із розподілом Парето I типу. Тобто:

$p(x)=\frac{\alpha {\lambda }^{\alpha }}{(x+\lambda {)}^{\alpha +1}}$ .

Нецентральні моменти

The $\nu$ ий нецентральний момент $E\left[X^{\nu }\right]$ існує лише якщо параметр форми $\alpha$ більший за $\nu$, тоді момент обчислюється за формулою

$E\left(X^{\nu }\right)=\frac{{\lambda }^{\nu }\mathrm{\Gamma }(\alpha -\nu )\mathrm{\Gamma }(1+\nu )}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}$

Пов'язані розподіли

Зв'язок з розподілом Парето

Розподіл Ломакса є розподілом Парето I типу, зміщеним так, що його носій починався з нуля. Зокрема:

$\text{If }Y\sim \text{Pareto}(x_m=\lambda ,\alpha ),\text{ then }Y-x_m\sim \text{Lomax}(\alpha ,\lambda ).$

Розподіл Ломакса є розподілом Парето типу II з x _m =λ і μ=0:

$\text{If }X\sim \text{Lomax}(\alpha ,\lambda )\text{ then }X\sim \text{P(II)}(x_m=\lambda ,\alpha ,\mu =0).$

Зв'язок з узагальненим розподілом Парето

Розподіл Ломакса є окремим випадком узагальненого розподілу Парето. Зокрема:

$\mu =0,\xi =\frac{1}{\alpha },\sigma =\frac{\lambda }{\alpha }.$

Зв'язок з бета розподілом

Розподіл Ломакса з параметром масштабу λ = 1 є окремим випадком бета-штрих розподілу. Якщо X розподілена за розподілом Ломакса, то $\frac{X}{\lambda }\sim {\beta }^{\prime }(1,\alpha )$ .

Зв'язок з розподілом Фішера

Розподіл Ломакса з параметром форми α = 1 і параметром масштабу λ = 1 має густину$f(x)=\frac{1}{(1+x{)}^2}$, такий самий розподіл має розподіл F (2,2). Це розподіл частки двох незалежних і однаково розподілених випадкових величин з експоненційними розподілами.

Зв'язок з q-експоненційним розподілом

Розподіл Ломакса є окремим випадком q-експоненційного розподілу . q-експонента розширює цей розподіл до носія на обмеженому інтервалі. Параметри розподілу Ломакса визначаються наступним чином:

$\alpha =\frac{2-q}{q-1},\lambda =\frac{1}{{\lambda }_q(q-1)}.$

Зв'язок з (лог-) логістичним розподілом

Логарифм розподіленої за Ломаксом змінної Lomax(форма = 1,0, масштаб = λ) розподілений за логістичним розподілом з розташуванням log(λ) і масштабом 1. Тобто, що Lomax(форма = 1, масштаб = λ)-розподіл дорівнює логарифмічно логістичним розподілом з параметром форми β = 1,0 і масштабу α = log(λ).

Зв'язок гамма-експоненціальної (масштабованої) суміші

Розподіл Ломакса виникає як суміш експоненційних розподілів, де розподілом змішування темпу виступає гамма-розподіл. Якщо λ|k,θ ~ Gamma(форма = k, масштаб = θ) і X |λ ~ Exponential(темп= λ), то граничний розподіл X |k,θ є Ломакс розподілом Lomax(форма = k, масштаб = 1/θ ). Оскільки параметр масштабу можна еквівалентно перепараметрувати до параметра масштабу, розподіл Ломакса по суті є сумішшю експоненційного (з параметром експоненціального масштабу, що розподілений за оберненим гамма-розподілом).

Див. також

• Степеневий розподіл
• складний розподіл ймовірностей
• гіперекспоненційний розподіл (кінечна суміш експоненцій)
• нормально-експоненціальний гамма-розподіл (суміш нормального масштабу з розподілом Ломакса)