Принцип симетрії Шварца

Принцип симетрії Шварца (принцип симетрії, принцип Рімана — Шварца) — метод аналітичного продовження функцій комплексної змінної.

Формулювання

Нехай функція $f (z)$ , є аналітичною (голоморфною) на деякій області $G \subset {z \in ℂ ∣ ℑ (z) > 0}$ Далі, нехай множина $\partial G \cap ℝ$ є непустою і містить відкритий відрізок $F$ на дійсній прямій, функція $f (z)$ є неперервною на $G \cup F$ і на множині $F$ приймає виключно дійсні значення.

Тоді можна здійснити аналітичне продовження функції $f$ з множини $G$ на більшу множину $G \cup F \cup \overline{G}$ , де $\overline{G} = {z : \overline{z} \in G}$ , за допомогою функції:

F (z) = f (z)

при

z \in G

F (z) = \overline{f (\overline{z})}

при

z \in \overline{G}

Доведення

Лема

Нехай $D_{1}$ і $D_{2}$ — області (відкриті зв'язані множини) на комплексній площині і $D_{1}$ є підмножиною верхньої відкритої півплощини, а $D_{2}$ — підмножиною нижньої. Нехай відкритий відрізок $(a, b)$ дійсної прямої є частиною границі і $D_{1}$ і $D_{2}$ . Якщо функції $f_{1}$ і $f_{2}$ є голоморфними у відповідно $D_{1}$ і $D_{2}$ і неперервними на множинах $D_{1} \cup (a, b)$ та $D_{2} \cup (a, b)$ то на області $D_{1} \cup (a, b) \cup D_{2}$ функція визначена як

f (z) = {\begin{matrix} f_{1} (z), & \forall z \in D_{1} \cup (a, b) \\ f_{2} (z), & \forall z \in D_{2} \end{matrix}

є голоморфною.

Доведення леми

З умов леми випливає, що функція $f$ є неперервною в $D$ . Згідно теореми Морери вона буде голоморфною у $D$ якщо інтеграл від неї по границі будь-якого трикутника $Δ$ є рівним нулю.

Якщо трикутник $Δ$ із своєю границею належить $D_{1}$ або $D_{2}$ , згідно інтегральної теореми Коші інтеграл від $f$ по границі є рівним нулю адже за означенням $f$ є голоморфною у $D_{1}$ і $D_{2}$ .

Нехай відрізок $(a, b)$ ділить трикутник на дві частини $Δ_{1}$ і $Δ_{2}$ (в залежності від типу поділу одна частина може бути чотирикутником, а інша — трикутником або обидві трикутниками) і позначимо $γ = (a, b) \cup Δ .$ Тоді $\int_{\partial Δ} f (z) d z = \int_{\partial Δ_{1}} f (z) d z + \int_{\partial Δ_{2}} f (z) d z$ і достатньо довести рівність нулю інтегралів у правій частині рівності.

Розглянемо ту із частин $Δ_{1}$ і $Δ_{2}$ яка належить нижній замкнутій півплощині і позначимо її $B$ , для іншої частини доведення буде аналогічним. Нехай додатне число $h$ є достатньо малим щоб пряма $ℑ (z) = - h$ паралельна дійсній осі (і тому також відрізку $γ,$ що є однією із сторін $B$ ) перетинала дві і лише дві із сторін $B$ . Позначимо через $T_{h}$ трапецію, яка відсікається від $B$ цією прямою і $B_{h} = B ∖ T_{h} .$ Тоді

\int_{\partial B} f (z) d z = \int_{\partial T_{h}} f (z) d z + \int_{\partial B_{h}} f (z) d z = \int_{\partial T_{h}} f (z) d z

де остання рівність є наслідком інтегральної теореми Коші адже $B_{h}$ із границею належить області $D_{2}$ на якій функція $f$ є голоморфною.

Якщо позначити $γ^{'}$ перетин $B$ із прямою $ℑ (z) = - h$ то $γ$ і $γ^{'}$ є основами трапеції $T_{h}$ . Можна припустити, що $γ$ є меншою із цих сторін (інший випадок розглядається аналогічно). Коли $h$ прямує до нуля то і довжини бічних сторін і різниця довжин $γ^{'}$ і $γ$ прямують до нуля як і внесок відповідних частин границі трапеції у інтеграл $\int_{\partial T_{h}} f (z) d z$ адже функція $f$ є неперервною і тому обмеженою на $\partial T_{h} .$

Більш конкретно можна записати

\int_{\partial T_{h}} f (z) d z = \int_{γ} f (z) d z + \int_{γ^{'}} f (z) d z + O (h) = \int_{γ} f (z) - f (z - h i) d z + O (h) .

Оскільки функція $f$ є рівномірно неперервною на $Δ$ , то підінтегральна функція у крайній правій частині попередньої рівності рівномірно прямує до нуля коли $h$ прямує до нуля, а тому і інтеграл $\int_{\partial T_{h}} f (z) d z$ прямує до. Але цей інтеграл є рівним інтегралу $\int_{\partial B} f (z) d z$ значення якого не залежить від $h$ отже обидва ці інтеграли є рівними нулю.

Якщо $Δ$ перетинається з $(a, b)$ лише однією стороною то замість двох частин $Δ_{1}$ і $Δ_{2}$ буде лише одна, для якої доведення аналогічне. Якщо перетин є лише по одній вершині то є теж лише одна частина і замість трапеції $T_{h}$ у доведенні вище є трикутник периметр якого прямує до нуля коли $h$ прямує до нуля і тому відповідний інтеграл теж є рівним нулю. Отже і в цих випадках твердження леми є справедливим.

Доведення принципу симетрії

Оскільки функція $f (z)$ є голоморфною на $G$ , то $\overline{f (\overline{z})}$ є голоморфною на $\overline{G}$ . Дійсно, якщо $f (z) = f (x + y i) = u (x, y) + v (x, y) i,$ де $u, v$ — дійсні функції дійсних змінних, то $\overline{f (\overline{z})} = u (x, - y) - v (x, - y) i .$ Дійсна і уявна частини $\overline{f (\overline{z})}$ очевидно диференційовні по $x, y$ , якщо це справедливо для $f (z)$ . Також оскільки відповідні похідні функції $f (z)$ задовольняють умови Коші — Рімана і тому $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial (- v)}{\partial (- y)}$ і $\frac{\partial u}{\partial (- y)} = - \frac{\partial (- v)}{\partial x}$ тож функція $\overline{f (\overline{z})}$ теж задовольняє умови Коші — Рімана і тому є голоморфною.

Оскільки $G$ є підмножиною верхньої комплексної півплощини, то $\overline{G}$ є підмножиною нижньої комплексної півплощини.

Також якщо змінна $z$ прямує до $x \in F$ у $\overline{G}$ то і $\overline{z}$ прямує до $x$ у $G$ і тоді $\overline{f (\overline{z})}$ прямує до $f (x) .$ Тому функція

f_{2} (z) = {\begin{matrix} \overline{f (\overline{z})}, & \forall z \in \overline{G} \\ f (x), & \forall x \in F \end{matrix}

є голоморфною на $\overline{G}$ і неперервною на $\overline{G} \cup F$ і функції $f$ і $f_{2}$ є рівними на $F$ і приймають там дійсні значення.

Тому функції $f_{1} = f$ і $f_{2}$ задовольняють умови леми із $D_{1} = G, D_{2} = \overline{G}$ і $(a, b) = F,$ і відповідне продовження на $G \cup F \cup \overline{G}$ є голоморфним.

Узагальнення

Припустимо, що задані області розширеної комплексної площини (сфери Рімана) $G_{1}, G_{2} \subset \overline{ℂ}$ , далі, $γ_{1} \subset G_{1}, γ_{2} \subset G_{2}$ — дуги кіл на сфері Рімана (колам на сфері Рімана відповідають кола та прямі лінії звичайної комплексної площини). Позначимо через $G_{1}^{*}$ область, яка симетрична $G_{1}$ щодо $γ_{1}$ , аналогічно визначається $G_{2}^{*}$ . Для визначення симетрії щодо кола використовується поняття інверсії. Тепер, якщо $f$ аналітично (голоморфно) відображає $G_{1}$ на $G_{2}$ , при тому $f (γ_{1}) = γ_{2}$ , тоді $f$ може бути аналітично продовжена до аналітичного відображення $G_{1} \cup γ_{1} \cup G_{1}^{*}$ на $G_{2} \cup γ_{2} \cup G_{2}^{*}$ . Таке продовження є єдиним і визначається в такий спосіб: якщо $z \in G_{1}, z \in G_{1}, z^{*} \in G_{1}^{*}$ є симетричними відносно $γ_{1}$ і $f (z) = w \in G_{2}$ то $f (z^{*}) = w^{*},$ де $w^{*}$ є симетричним до $w$ відносно дуги $γ_{2} .$

Література

Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.

Принцип симетрії Шварца

Зміст

Формулювання

Доведення

Лема

Доведення леми

Доведення принципу симетрії

Узагальнення

Література

Навігаційне меню

Принцип симетрії Шварца

Формулювання

Доведення

Лема

Доведення леми

Доведення принципу симетрії

Узагальнення

Література

Навігаційне меню

Пошук