Поліноми Кравчука

Поліноми Кравчука на монеті України 2012 року «Михайло Кравчук»

Поліноми Кравчука ( М. П. Кравчук, 1929) належать до класичних ортогональних поліномів дискретної змінної на рівномірній сітці, для яких співвідношення ортогональності являє собою не інтеграл, а ряд або скінченну суму: $\sum _{x=0}^N{k}_n^{(p)}(x)k_m^{(p)}(x)\sigma (x)=d_n^2,{\delta }_{m,n}$.

Тут $\sigma (x)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{x})p^x{q}^{N-x}$ — вагова функція, $d_n=\sqrt{(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n})(pq{)}^n}$ — квадратична норма, $0<p<1,0<q<1,p+q=1$. Для $p=q=1/2$ вагова функція з точністю до постійного множника $1/2^N$ зводиться до біноміального коефіцієнта.

Рекурентне співвідношення для цих поліномів має вигляд $(n+1)k_{n+1}^{(p)}(x)+pq(N-n+1)k_{n-1}^{(p)}(x)=[x+n(p-q)-pN]k_n^{(p)}(x)$.

Шляхом нескладних перетворень його можна привести до вигляду

$f_{n+1}\frac{k_{n+1}^{(p)}(x)}{d_{n+1}}+f_n\frac{k_{n-1}^{(p)}(x)}{d_{n-1}}=(rx+\epsilon n+\mathrm{\Delta })\frac{k_n^{(p)}(x)}{d_n}$,

де

$f_n=\sqrt{\frac{n(N+1-n)}{N}},r=\frac{1}{\sqrt{pqN}},\epsilon =r(p-q),\mathrm{\Delta }=-rpN.$

Поліноми Кравчука можуть бути виражені через гіпергеометричну функцію Гауса:

$k_n^{(p)}(x)=(-1{)}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n})p^n{}_2{F}_1(-n,-x;-N;1/p)$

В границі при $N\to \mathrm{\infty }$ поліноми Кравчука переходять у Поліноми Ерміта:

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{N\to \mathrm{\infty }}{(2/Npq)}^{n/2}n!;k_n^{(p)}(Np+\sqrt{2Npq},x)=H_n(x)$

Перші чотири поліноми для найпростішого випадку $p=q=1/2$:

• ${𝒦}_0(x,N)=1$
• ${𝒦}_1(x,N)=-2x+N$
• ${𝒦}_2(x,N)=2x^2-2Nx+(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{2})$
• ${𝒦}_3(x,N)=-\frac{4}{3}{x}^3+2N{x}^2-(N^2-N+\frac{2}{3})x+(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{3})$

Породжуюча функція

Звичайна породжуюча функція

$\begin{array}{cc}(1+(q-1)z{)}^{n-x}(1-z{)}^x& =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{𝒦}_k(x;n,q)z^k.\end{array}$

Джерела

• Sur une généralisation des polynomes d'Hermite. M. Krawtchouk. C.R.Acad. Sci. 1929. T.189, No.17. P.620 — 622
• А. Ф. Никифоров, С. К. Суслов, В. Б. Уваров. Классические ортогональные полиномы дискретной переменной. Москва, «Наука», 1985.
• Krawtchouk Polynomials Home Page

Див. також

• Матриці Кравчука