Поляризаційна тотожність

Вектори у поляризаційній тотожності.

У лінійній алгебрі поляризаційна тотожність виражає скалярний добуток двох векторів через норму у нормованому векторному просторі. Поляризаційна тотожність зокрема описує коли норма породжується деяким скалярним добутком.

Поляризаційна тотожність тісно пов'язана із правилом паралелограма, адже для нормованого простору (V, $\Vert \cdot \Vert$), скалярний добуток на V для якого $\Vert x{\Vert }^2=⟨x,x⟩$ існує якщо і тільки якщо виконується правило паралелограма. Тоді скалярний добуток однозначно виражається через норму саме за допомогою поляризаційних тотожностей:.

Формули

Будь-який скалярний добуток на векторному просторі породжує норму:

$\Vert v\Vert =\sqrt{⟨v,v⟩}.$

Поляризаційні тотожності навпаки виражають скалярний добуток через норму (у випадках коли норма породжена скалярним добутком).

Дійсні векторні простори

Якщо векторний простір є над полем дійсних чисел, тоді виконують рівності:

$\begin{array}{cc}⟨u,v⟩& =\frac{1}{2}(\Vert u+v{\Vert }^2-\Vert u{\Vert }^2-\Vert v{\Vert }^2)\\ & =\frac{1}{2}(\Vert u{\Vert }^2+\Vert v{\Vert }^2-\Vert u-v{\Vert }^2)\\ & =\frac{1}{4}(\Vert u+v{\Vert }^2-\Vert u-v{\Vert }^2).\end{array}$

Різні варіанти поляризаційних тотожностей є еквівалентними згідно правила паралелограма:

$2\Vert u{\Vert }^2+2\Vert v{\Vert }^2=\Vert u+v{\Vert }^2+\Vert u-v{\Vert }^2.$

Формули виводяться із властивостей скалярного добутку:

$\begin{array}{cc}\Vert u+v{\Vert }^2& =⟨u+v,u+v⟩\\ & =⟨u,u⟩+⟨u,v⟩+⟨v,u⟩+⟨v,v⟩\\ & =\Vert u{\Vert }^2+\Vert v{\Vert }^2+2⟨u,v⟩,\end{array}$

і аналогічно

$\Vert u-v{\Vert }^2=\Vert u{\Vert }^2+\Vert v{\Vert }^2-2⟨u,v⟩.$

Виразивши скалярний добуток через норми у цих тотожностях можна одержати перші дві форми поляризаційної тотожності. Віднявши від першої рівності другу можна одержати третю форму.

Комплексні векторні простори

Дійсна частина скалярного добутку (незалежно від того чи він є у дійсних чи комплексних просторах і антилінійним по першій чи другій координаті) є симетричною білінійною формою, яку можна виразити поляризаційною тотожністю:

$\begin{array}{cc}R(x,y):& =\mathrm{Re}⟨x\mid y⟩=\mathrm{Re}⟨x,y⟩\\ & =\frac{1}{4}(\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x-y{\Vert }^2)\\ \end{array}$

Натомість уявна частина залежить від того чи добуток є антилінійним по першій чи другій координаті.

Якщо скалярний добуток $⟨x\mid y⟩$ є антилінійним по першій координаті, тоді для всіх $x,y\in V:$

$\begin{array}{cc}⟨x\mid y⟩& =\frac{1}{4}(\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x-y{\Vert }^2-i\Vert x+iy{\Vert }^2+i\Vert x-iy{\Vert }^2)\\ & =R(x,y)-iR(x,iy).\\ \end{array}$.

Якщо скалярний добуток $⟨x,y⟩$ є антилінійним по другій координаті, тоді для всіх $x,y\in V:$

$\begin{array}{cc}⟨x,y⟩& =\frac{1}{4}(\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x-y{\Vert }^2+i\Vert x+iy{\Vert }^2-i\Vert x-iy{\Vert }^2)\\ & =R(x,y)+iR(x,iy).\\ \end{array}$

Останню рівність також можна записати як::

$⟨x,y⟩=\frac{1}{4}\sum _{k=0}^3{i}^k{\Vert x+i^{k}y\Vert }^2.$

Знаходження скалярного добутку у нормованому просторі

Якщо у нормованому просторі (V, $\Vert \cdot \Vert$) виконується правило паралелограма

$\Vert x+y{\Vert }^2+\Vert x-y{\Vert }^2=2\Vert x{\Vert }^2+2\Vert y{\Vert }^2$

тоді поляризаційні тотожності задають скалярний добуток для якого $\Vert x{\Vert }^2=⟨x,x⟩$ для всіх $x\in V$.

Це означає, що, наприклад, для дійсних векторних просторів, якщо виконується правило паралелограма, то функція, значення якої для $x,y\in V$ є рівним $\frac{1}{4}(\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x-y{\Vert }^2)$ є скалярним добутком.

Доведення

Доведення дано для дійсних нормованих просторів. Для комплексних доведення аналогічне.

Якщо норма задана скалярним добутком, то вона задовольняє поляризаційну тотожність

$⟨x,y⟩=\frac{1}{4}(\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x-y{\Vert }^2)$ для всіх $x,y\in V.$

Нехай тепер маємо довільний дійсний нормований простір із нормою $\Vert \cdot \Vert$, що задовольняє правило паралелограма. Тоді введена вище функція $⟨x,y⟩)$ є скалярним добутком, що породжує норму, тобто:

1. $⟨x,x⟩=\Vert x{\Vert }^2,x\in V$
2. $⟨x,y⟩=⟨y,x⟩,x,y\in V$
3. $⟨x+z,y⟩=⟨x,y⟩+⟨z,y⟩$ для всіх $x,y,z\in V,$
4. $⟨\alpha x,y⟩=\alpha ⟨x,y⟩$ для всіх $x,y\in V,$ і всіх $\alpha \in ℝ$

(властивості $⟨x,x⟩⩾0$ і $⟨x,x⟩>0,x\ne 0$ тоді випливають із аналогічних властивостей норми).

Властивості (1) і (2) відразу випливають із підстановки: $⟨x,x⟩=\frac{1}{4}(\Vert x+x{\Vert }^2-\Vert x-x{\Vert }^2)=\Vert x{\Vert }^2$ і властивості: $\Vert x-y{\Vert }^2=\Vert y-x{\Vert }^2$.

Для доведення (3) необхідно довести:

$\Vert x+z+y{\Vert }^2-\Vert x+z-y{\Vert }^2\stackrel{?}{=}\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x-y{\Vert }^2+\Vert z+y{\Vert }^2-\Vert z-y{\Vert }^2$

Еквівалентно:

$2(\Vert x+z+y{\Vert }^2+\Vert x-y{\Vert }^2)-2(\Vert x+z-y{\Vert }^2+\Vert x+y{\Vert }^2)\stackrel{?}{=}2\Vert z+y{\Vert }^2-2\Vert z-y{\Vert }^2$

До доданків у лівій стороні можна застосувати правило паралелограма:

$2\Vert x+z+y{\Vert }^2+2\Vert x-y{\Vert }^2=\Vert 2x+z{\Vert }^2+\Vert 2y+z{\Vert }^2$

$2\Vert x+z-y{\Vert }^2+2\Vert x+y{\Vert }^2=\Vert 2x+z{\Vert }^2+\Vert z-2y{\Vert }^2$

Тоді після підстановки і перетворень одержується:

$\cancel{\Vert 2x+z{\Vert }^2}+\Vert 2y+z{\Vert }^2-(\cancel{\Vert 2x+z{\Vert }^2}+\Vert z-2y{\Vert }^2)\stackrel{?}{=}2\Vert z+y{\Vert }^2-2\Vert z-y{\Vert }^2$

$\Vert 2y+z{\Vert }^2-\Vert z-2y{\Vert }^2\stackrel{?}{=}2\Vert z+y{\Vert }^2-2\Vert z-y{\Vert }^2$

Але остання рівність одержується як різниця двох рівностей із правила паралелограма:

$\Vert 2y+z{\Vert }^2+\Vert z{\Vert }^2=2\Vert z+y{\Vert }^2+2\Vert y{\Vert }^2$

$\Vert z-2y{\Vert }^2+\Vert z{\Vert }^2=2\Vert z-y{\Vert }^2+2\Vert y{\Vert }^2$

Це завершує доведення властивості (3).

Із властивості (3) випливає $⟨nx,y⟩=n⟨x,y⟩$ для $n\in \mathbb{N}$ і тоді елементарно для всіх $n\in \mathbb{Z}.$ Але із виконання (4) для $\alpha \in \mathbb{Z}$ випливає (4) для $\alpha \in \mathbb{Q}$. Але скалярний добуток, сума і норма є неперервними у нормованому просторі, тому одержана внаслідок поляризаційної тотожності функція $⟨\alpha x,y⟩-\alpha ⟨x,y⟩$ є неперервною від дійснозначного аргумента $\alpha$. Тому оскільки ця функція є рівною 0 для раціональних чисел, вона має бути рівною 0 і для всіх дійсних чисел, що завершує доведення властивості (4).

Узагальнення

Симетричні білінійні форми

Якщо B є симетричною білінійною формою на векторному просторі, і Q є квадратичною формою заданою як

$Q(v)=B(v,v),$

то

$\begin{array}{cc}2B(u,v)& =Q(u+v)-Q(u)-Q(v),\\ 2B(u,v)& =Q(u)+Q(v)-Q(u-v),\\ 4B(u,v)& =Q(u+v)-Q(u-v).\end{array}$

Цю формулу можна застосувати навіть у випадку полів характеристика яких є рівною 2, хоча у цьому випадку ліва сторона в усіх формулах буде рівною 0. У цьому випадку не існує формули для симетричних білінійних форм через квадратичні форми і ці два поняття є нееквівалентними.

Формули також можна застосувати для білінійних форм на модулях над комутативними кільцями, хоча знову ж квадратичну форму можна виразити через симетричну лише якщо 2 є оборотним елементом у кільці, в іншому випадку поняття не є еквівалентними. Наприклад для цілих чисел існують квадратичні форми і симетричні форми.

Див. також

• Норма (математика)
• Нормований векторний простір
• Правило паралелограма
• Скалярний добуток