Повна група

Повна група ― група $G$, така що відображення $G\to Aut(G)$ є ізоморфізмом. Це відображення посилає елемент $g\in G$ в автоморфізм спряження $s_g:h\to gh{g}^{-1}$. Ін'єктивність цього відображення рівносильна тривіальності центра, а сюр'єктивність тому, що кожен автоморфізм є внутрішнім.

Шаблон:ЯкірПрикладами є симетричні групи $S_n$ за $n\ne 2,6$ (теорема Гельдера); при цьому група $S_2={\mathbb{Z}}_2$ має нетривіальний центр, а в групи $S_6$ існує Шаблон:Не перекладено.

Автоморфізми простої групи утворюють майже просту групу, а автоморфізми неабелевої простої групи — повну групу.

Не будь-яка група, ізоморфна своїй групі автоморфізмів, є повною: необхідно, щоб ізоморфізм здійснювався відображенням спряження. Прикладом групи, для якої $G=Aut(G)$, але яка не є повною, є група діедра $D_4$.

Література

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation (розділ 7, зокрема теореми 7.15 і 7.17).

Посилання

• Шаблон:Не перекладено: How tall is the automorphism tower of a group?