Перша теорема Веєрштрасса

Перша теорема Веєрштрасса доводить обмеженість неперервної функції на відрізку (замкненому проміжку).

У деяких підручниках цю теорему об'єднують із другою теоремою Веєрштрасса в одну «теорему Веєрштрасса».

Формулювання теореми

Якщо функція $f(x)$ неперервна на відрізку $[a,b]$, то вона обмежена на цьому проміжку.

Доведення

Доведемо, що функція $f(x)$ обмежена зверху на проміжку $[a,b]$ (обмеженість знизу доводиться аналогічно).

Припустимо протилежне, тобто, що $f(x)$ не є обмеженою на проміжку $[a,b]$.

Тоді для будь-якого натурального числа $n$ $(n=1,2,...)$ знайдеться хоча б одна точка $x_n$ з проміжку $[a,b]$ така, що $f(x_n)>n$ (інакше $f(x)$ була б обмежена зверху на проміжку $[a,b]$).

Таким чином, існує послідовність значень $x_n$ з проміжку $[a,b]$ така, що відповідна їй послідовність значень функції $f(x_n)$ є нескінченно великою. Внаслідок теореми Больцано — Веєрштрасса, з послідовності $x_n$ можна виділити підпослідовність, яка збігається до точки $c$, що належить $[a,b]$. Позначимо цю послідовність символом $x_k$, $(k_n)$ $(n=1,2,...)$. Внаслідок неперервності функції $f(x)$ у точці $c$ відповідна підпослідовність значень функції $f(x_k)$ має збігатися до $f(c)$. Але це неможливо, оскільки підпослідовність $f(x_k)$, яку виділено з послідовності $f(x_n)$, сама є нескінченно великою. Отже, наше припущення про необмеженість хибне.

Теорему доведено.

Зауваження

Для інтервалу (чи півпроміжку) твердження, аналогічне першій теоремі Веєрштрасса, вже хибне, тобто з неперервності функції на інтервалі (півпроміжку) вже не випливає обмеженість цієї функції на вказаній множині.

Наприклад, розглянемо функцію $f(x)=1/x$ на інтервалі $(0,1)$. Ця функція на вказаному інтервалі неперервна, але необмежена, оскільки існує послідовність точок $x_n=1/n$ $(n=2,3,...)$, які належать вказаному інтервалу, така, що відповідна послідовність значень функції $f(x_n)=n$ є нескінченно великою.

Див. також

• Теорема Веєрштрасса — Стоуна

Література

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Банах.Диференціальне та інтегральне числення
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Дороговцев.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Завало.Елементи аналізу. Алгебра многочленів.