Перетин прямої і площини

В аналітичній геометрії, перетин прямої і площини може бути порожньою множиною, точкою, або прямою. Розрізнення цих випадків, і визначення рівнянь для точки і прямої має своє застосування комп'ютерній графіці, плануванні руху, і виявленні зіткнень.

Алгебраїчна форма

У Шаблон:Нп, площину можна задати у вигляді набору точок $𝐩$ для яких

(𝐩 - 𝐩_{𝟎}) \cdot 𝐧 = 0

де $𝐧$ — вектор нормалі, що перпендикулярний площині і $𝐩_{𝟎}$ є точкою на площині. (Це представлення $𝐚 \cdot 𝐛$ означає скалярний добуток двох векторів $𝐚$ і $𝐛$ .)

Векторне рівняння прямої є наступним:

𝐩 = d 𝐥 + 𝐥_{𝟎} d \in ℝ

де $𝐥$ це вектор, який вказує напрям прямої, $𝐥_{𝟎}$ точка на цій прямій, і $d$ це скаляр в дійсній області чисел. Підставляючи рівняння прямої в рівняння площини, отримуємо

(d 𝐥 + 𝐥_{𝟎} - 𝐩_{𝟎}) \cdot 𝐧 = 0

Розкривши дужки, маємо:

d 𝐥 \cdot 𝐧 + (𝐥_{𝟎} - 𝐩_{𝟎}) \cdot 𝐧 = 0

І вирішуючи для $d$

d = \frac{(𝐩_{𝟎} - 𝐥_{𝟎}) \cdot 𝐧}{𝐥 \cdot 𝐧} .

Якщо $𝐥 \cdot 𝐧 = 0$ пряма і площина є паралельними. Матимемо два випадки: якщо $(𝐩_{𝟎} - 𝐥_{𝟎}) \cdot 𝐧 = 0$ пряма знаходиться на площині, що означає, що пряма перетинає площину в кожній точці прямої. В іншому випадку, пряма і площина не мають перетину.

Якщо $𝐥 \cdot 𝐧 \neq 0$ існує єдина точка перетину. Значення $d$ можна розрахувати і точку перетину можна визначити наступним чином:

d 𝐥 + 𝐥_{𝟎}

.

Параметрична форма

Пряма описується всіма точками на прямій і напрямом від конкретної точки. Таким чином будь-яка довільна точка на прямій може бути задана наступним чином

𝐥_{a} + (𝐥_{b} - 𝐥_{a}) t, t \in ℝ

де $𝐥_{a} = (x_{a}, y_{a}, z_{a})$ and $𝐥_{b} = (x_{b}, y_{b}, z_{b})$ є двома різними точками на прямій.

Таким же чином будь-яка довільна точка на площині може бути представлена як:

𝐩_{0} + (𝐩_{1} - 𝐩_{0}) u + (𝐩_{2} - 𝐩_{0}) v, u, v \in ℝ

де $𝐩_{k} = (x_{k}, y_{k}, z_{k})$ , $k = 0, 1, 2$ це три точки на площині, які не є колінеарними.

Точка, в якій пряма перетинає площину, таким чином описується рівнянням в якому точка на прямій дорівнює точці на площині, і задається наступним параметричним рівнянням:

𝐥_{a} + (𝐥_{b} - 𝐥_{a}) t = 𝐩_{0} + (𝐩_{1} - 𝐩_{0}) u + (𝐩_{2} - 𝐩_{0}) v

Це можна записати як

𝐥_{a} - 𝐩_{0} = (𝐥_{a} - 𝐥_{b}) t + (𝐩_{1} - 𝐩_{0}) u + (𝐩_{2} - 𝐩_{0}) v,

що можна представити в матричній формі, як:

[\begin{matrix} x_{a} - x_{0} \\ y_{a} - y_{0} \\ z_{a} - z_{0} \end{matrix}] = [\begin{matrix} x_{a} - x_{b} & x_{1} - x_{0} & x_{2} - x_{0} \\ y_{a} - y_{b} & y_{1} - y_{0} & y_{2} - y_{0} \\ z_{a} - z_{b} & z_{1} - z_{0} & z_{2} - z_{0} \end{matrix}] [\begin{matrix} t \\ u \\ v \end{matrix}]

Точка перетину буде дорівнювати наступному:

𝐥_{a} + (𝐥_{b} - 𝐥_{a}) t

Якщо лінія паралельна площині тоді вектори $𝐥_{b} - 𝐥_{a}$ , $𝐩_{1} - 𝐩_{0}$ , і $𝐩_{2} - 𝐩_{0}$ будуть лінійно залежними і матриця буде виродженою. Ця ситуація також виникає, коли пряма знаходиться на площині.

Якщо рішення задовольняє умову $t \in [0, 1],$ , тоді точка перетину знаходиться на прямій між $𝐥_{a}$ і $𝐥_{b}$ .

Якщо рішення задовольняє

u, v \in [0, 1], (u + v) \leq 1,

тоді точка перетину знаходиться на площині в межах трикутника, що заданий трьома точками $𝐩_{0}$ , $𝐩_{1}$ і $𝐩_{2}$ .

Ця задача зазвичай вирішується у матричній формі, і за допомогою інверсії отриманої матриці:

[\begin{matrix} t \\ u \\ v \end{matrix}] = {[\begin{matrix} x_{a} - x_{b} & x_{1} - x_{0} & x_{2} - x_{0} \\ y_{a} - y_{b} & y_{1} - y_{0} & y_{2} - y_{0} \\ z_{a} - z_{b} & z_{1} - z_{0} & z_{2} - z_{0} \end{matrix}]}^{- 1} [\begin{matrix} x_{a} - x_{0} \\ y_{a} - y_{0} \\ z_{a} - z_{0} \end{matrix}] .

Посилання

Перетин прямої і площини

Алгебраїчна форма

Параметрична форма

Посилання

Навігаційне меню

Пошук