Перемішування (математика)

У теорії динамічних систем, перемішування — властивість системи «забувати» інформацію про початкові умови з плином часу. Більш точно, розрізняють топологічне і метричне перемішування. Перше належить до теорії неперервних систем і, грубо кажучи, стверджує, що наскільки б точно не було відомо початкове положення точки, з плином часу можливе її місцезнаходження стає все більш і щільнішою множиною. Друге належить до теорії вимірних систем — систем, що зберігають деяку міру $\mu$ — і стверджує, що розподіл абсолютно безперервної міри щодо $mu$ (наприклад, обмеження $\mu$ на заданій підмножині початкових умов) при ітераціях прямує до самої міри $\mu$.

Перемішування кольорового пластиліну у кульці, що піддається послідовним відображенням Підкови Смейла.

Визначення

Топологічне перемішування

За визначенням, (неперервна) динамічна система $f:X\to X$ називається топологічно перемішуючою, якщо для будь-яких двох непорожніх відкритих множин $A,B\subset X$ виконується

$\mathrm{\exists }N:\mathrm{\forall }n\ge N{f}^n(A)\cap B\ne \mathrm{\varnothing },$

або, в інакшому вигляді,

$\mathrm{\exists }N:\mathrm{\forall }n\ge NA\cap f^{-n}(B)\ne \mathrm{\varnothing },$

Це означає що для будь-яких заданих $\epsilon >0$ і непорожньої відкритої множини $A$ всі ітерації $A$ з достатньо великим номером виявляються $\epsilon$-щільні у фазовому просторі.

Топологічне перемішування є сильнішою властивістю, ніє транзитивність. Так, ірраціональний поворот кола транзитивний, але не перемішує.

Метричне перемішування

За визначенням, вимірюване відображення $f:(X,𝒜,\mu )\to (X,𝒜,\mu )$, що зберігає міру називається метрично перемішуючим, якщо для будь-яких двох вимірюваних множин $A,B\in 𝒜$ виконується

$\mu (f^{-n}(A)\cap B)\to \mu (A)\mu (B),n\to \mathrm{\infty }.$

У термінах інтегрованих функцій, це рівнозначне тому, що для будь-яких двох функцій $\phi ,\psi \in L_2(X,\mu )$ виконується

$\underset{X}{\int }\phi (f^n(x))\psi (x)d\mu (x)\to \underset{X}{\int }\phi d\mu \cdot \underset{X}{\int }\psi d\mu .$

ергодичність міри $\mu$ є необхідною, але не достатньою умовою метричного перемішування. Так, ірраціональний поворот кола зберігає ергодичну для нього міру Лебега, але не є метрично перемішуючим.

Див. також

• Транзитивність (математика)
• Спектральна теорія динамічних систем

Література

• Корнфельд И. П., Синай Я. Г., Фомин С. В., Эргодическая теория.
• Синай Я. Г., Современные проблемы эргодической теории, М.:ФизМатЛит, 1995, с. 24.
• А. Б. Каток, Б. Хасселблат. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. з англ. А. Кононенко за участю С. Ферлегера — М.: Факториал, 1999. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9.