Параметричний резонанс

Дівчинка розгойдується завдяки параметричному резонансу. Підгинаючи і випрямляючи ноги, вона періодично змінює свій момент інерції

Параметричний резонанс — резонансне збільшення амплітуди коливань гармонічного осцилятора при зміні його параметрів із певною частотою.

Усім знайомий приклад параметричного резонансу — гойдалка.

Теорія

Рівняння руху гармонічного осцилятора, параметр якого (частота) змінюється з часом за синусоїдальним законом, описується рівнянням

$\ddot{u}+{\omega }_0^2(1+h\cos \omega t)u=0$,

де u — змінна, ${\omega }_0$ — власна частота гармонічного осцилятора при відсутності параметричної дії, $\omega$ — частота параметричної дії, h описує амплітуду параметричної дії. В математиці це рівняння називається рівнянням Матьє.

Резонанс, тобто різке зростання амплітуди коливань, спостерігається тоді, коли

$\omega =\frac{2{\omega }_0}{n}$,

де n — будь-яке ціле число. Головний резонанс відбувається на подвоєній частоті власних коливань гармонічного осцилятора. Ширина резонансу приблизно дорівнює $h{\omega }_0$.

Відмінність параметричного резонансу від звичайного в тому, що при параметричному резонансі пряма зовнішня сила відсутня. Збільшення розмаху коливань відбувається за рахунок процесів у самій системі, енергія в систему поступає завдяки силі, яка змінює параметр.

Тертя

При врахуванні тертя параметричний резонанс описується рівнянням

$\ddot{u}+3\gamma \dot{u}+{\omega }_0^2(1+h\cos \omega t)u=0$,

де $\gamma$ — коефіцієнт, відповідальний за тертя.

Резонанс в такому випадку може збуджуватися не при будь-якому значені h, а лише, коли виконується умова

$h>\frac{4\gamma }{{\omega }_0^2-{\gamma }^2}$

Область частот, в якій можливий резонанс, теж звужується.

Джерела

• Шаблон:Cite book, 516 с.

Посилання

• Шаблон:ТС Буд