Параметризований постньютонівський формалізм

Параметризо́ваний постнью́тонівський формалі́зм (ППН формалі́зм) — версія постньютонівського формалізму, застосовна не тільки до загальної теорії відносності, але й до інших метричних теорій гравітації, коли рухи тіл задовольняють принцип еквівалентності Ейнштейна. У такому підході явно виписуються всі можливі залежності гравітаційного поля від розподілу матерії аж до відповідного порядку оберненого квадрата швидкості світла $c^{-2}$ (точніше, швидкості гравітації, при цьому зазвичай обмежуються першим порядком) і складається найзагальніший вираз для розв'язання рівнянь гравітаційного поля і руху матерії. Різні теорії гравітації при цьому пророкують різні значення коефіцієнтів — так званих ППН параметрів — у загальних виразах. Це приводить до потенційно спостережуваних ефектів, експериментальні обмеження на величину яких призводять до обмежень на ППН параметри, і відповідно — до обмежень на теорії гравітації, що їх передбачають. Можна сказати, що ППН параметри описують відмінності між ньютонівською та описуваною теоріями гравітації. ППН формалізм застосовний, коли гравітаційні поля слабкі, а швидкості руху тіл, що формують їх, малі, порівняно зі швидкістю світла (точніше, швидкістю гравітації) — канонічними прикладами застосування є рух Сонячної системи і систем пульсарів у подвійних системахШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Історія

Перша параметризація постньютонівського наближення належить перу Еддінгтона (Eddington, 1922Шаблон:Sfn). У ній розглядалося, втім, лише гравітаційне поле у вакуумі навколо сферично-симетричного статичного тілаШаблон:Sfn. Шаблон:Не перекладено (Nordtvedt, 1968Шаблон:Sfn, 1969Шаблон:Sfn) розширив формалізм до 7 параметрів, а Шаблон:Нп (Will, 1971Шаблон:Sfn) ввів у нього опис небесних тіл як протяжних розподілів тензора енергії-імпульсуШаблон:Sfn.

Застосовувані найчастіше і описані нижче версії формалізму ґрунтуються на працях Шаблон:Не перекладено (Ni, 1972Шаблон:Sfn), Вілла і Нордтведта (Will & Nordtvedt, 1972Шаблон:Sfn), Мізнера, Торна і Вілера ГравітаціяШаблон:Sfn та ВіллаШаблон:SfnШаблон:Sfn, і мають 10 параметрів.

Бета-дельта варіант (Beta-delta notation)

Десять постньютонівських параметрів (ППН параметрів) повністю характеризують поведінку переважної більшості метричних теорій гравітації в границі слабкого поляШаблон:Sfn. ППН формалізм виявився цінним засобом для перевірки загальної теорії відносностіШаблон:Sfn. В позначеннях Вілла (Will, 1971Шаблон:Sfn), Ні (Ni, 1972Шаблон:Sfn) і Мізнера, Торна і Вілера (Misner et al., 1973Шаблон:Sfn) ППН параметри мають умовно таке значенняШаблон:Sfn:

$\gamma$	Наскільки сильну просторову кривину в $g_{ij}$ генерує одиниця маси спокою?
$\beta$	Наскільки велика нелінійність у $g_{00}$ при додаванні гравітаційних полів?
${\beta }_1$	Скільки тяжіння в $g_{00}$ створює одиниця кінетичної енергії $\frac{1}{2}{\rho }_0{v}^2$?
${\beta }_2$	Скільки тяжіння в $g_{00}$ створює одиниця гравітаційної потенціальної енергії ${\rho }_0/U$?
${\beta }_3$	Скільки тяжіння в $g_{00}$ створює одиниця внутрішньої енергії тіла ${\rho }_0\mathrm{\Pi }$?
${\beta }_4$	Скільки тяжіння в $g_{00}$ створює одиниця тиску $p$?
$\zeta$	Різниця між проявом радіальної та трансверсальної кінетичної енергії в тяжінні в $g_{00}$
$\eta$	Різниця між проявом радіальних і трансверсальних напруг у тяжінні в $g_{00}$
${\mathrm{\Delta }}_1$	Скільки захоплення інерційних систем відліку в $g_{0j}$ створює одиниця імпульсу ${\rho }_{0}v$?
${\mathrm{\Delta }}_2$	Різниця між степенем захоплення інерційних систем відліку в радіальному і трансверсальному напрямках

$g_{\mu \nu }$ — симетричний метричний тензор 4 на 4, а просторові індекси $i$ і $j$ пробігають значення від 1 до 3.

У теорії Ейнштейна ці параметри відповідають тому, що (1) для малих швидкостей руху тіл та їхніх мас відновлюється ньютонівське тяжіння, (2) виконуються закони збереження енергії, маси, імпульсу та моменту імпульсу, і (3) рівняння теорії не залежать від системи відліку. У таких позначеннях загальна теорія відносності має ППН параметри

$\gamma =\beta ={\beta }_1={\beta }_2={\beta }_3={\beta }_4={\mathrm{\Delta }}_1={\mathrm{\Delta }}_2=1$ і $\zeta =\eta =0$ Шаблон:Sfn.

Альфа-дзета варіант (Alpha-zeta notation)

У сучаснішій версії (Will & Nordtvedt, 1972Шаблон:Sfn), що використовується також у роботах Вілла (1981Шаблон:Sfn, 2014Шаблон:Sfn), застосовується інший еквівалентний набір із 10 ППН параметрів:

$\gamma =\gamma$,

$\beta =\beta$,

${\alpha }_1=7{\mathrm{\Delta }}_1+{\mathrm{\Delta }}_2-4\gamma -4$,

${\alpha }_2={\mathrm{\Delta }}_2+\zeta -1$,

${\alpha }_3=4{\beta }_1-2\gamma -2-\zeta$,

${\zeta }_1=\zeta$,

${\zeta }_2=2\beta +2{\beta }_2-3\gamma -1$,

${\zeta }_3={\beta }_3-1$,

${\zeta }_4={\beta }_4-\gamma$,

$\xi$ виходить з $3\eta =12\beta -3\gamma -9+10\xi -3{\alpha }_1+2{\alpha }_2-2{\zeta }_1-{\zeta }_2$.

Сенс параметрів ${\alpha }_1$, ${\alpha }_2$ і ${\alpha }_3$ при цьому — ступінь прояву ефектів переважної системи відліку (ефіру)Шаблон:Sfn. ${\zeta }_1$, ${\zeta }_2$, ${\zeta }_3$, ${\zeta }_4$ і ${\alpha }_3$ вимірюють ступінь порушення законів збереження енергії, імпульсу та моменту імпульсуШаблон:Sfn.

У цих позначеннях ППН параметри ЗТВ є

$\gamma =\beta =1$ і ${\alpha }_1={\alpha }_2={\alpha }_3={\zeta }_1={\zeta }_2={\zeta }_3={\zeta }_4=\xi =0$ Шаблон:Sfn.

Вигляд метрики альфа-дзета варіанту:

$\begin{array}{c}{g}_{00}=-1+2U-2\beta U^2-2\xi {\mathrm{\Phi }}_W+(2\gamma +2+{\alpha }_3+{\zeta }_1-2\xi ){\mathrm{\Phi }}_1+2(3\gamma -2\beta +1+{\zeta }_2+\xi ){\mathrm{\Phi }}_2\\ +2(1+{\zeta }_3){\mathrm{\Phi }}_3+2(3\gamma +3{\zeta }_4-2\xi ){\mathrm{\Phi }}_4-({\zeta }_1-2\xi )A-({\alpha }_1-{\alpha }_2-{\alpha }_3)w^{2}U\\ -{\alpha }_2{w}^i{w}^j{U}_{ij}+(2{\alpha }_3-{\alpha }_1)w^i{V}_i+O({\epsilon }^3)\end{array}$

$g_{0i}=-\frac{1}{2}(4\gamma +3+{\alpha }_1-{\alpha }_2+{\zeta }_1-2\eta )V_i-\frac{1}{2}(1+{\alpha }_2-{\zeta }_1+2\xi )W_i-\frac{1}{2}({\alpha }_1-2{\alpha }_2)w^{i}U-{\alpha }_2{w}^j{U}_{ij}+O({\epsilon }^{\frac{5}{2}}),$

$g_{ij}=(1+2\gamma U){\delta }_{ij}+O({\epsilon }^2)$,

де за індексами, що повторюються, передбачається підсумовування, ${\epsilon }^2$ визначається як найбільше в системі значення ньютонівського потенціалу $U$, квадрата швидкості матерії або подібних величин (вони всі мають один порядок величини), $w^i$ — швидкість ППН координатної системи відносно виділеної системи спокою, $w^2=w^i{w}^j{\delta }_{ij}$ — квадрат цієї швидкості, а ${\delta }_{ij}=1$ якщо $i=j$ і $0$ у протилежному випадку — символ КронекераШаблон:Sfn.

Є лише десять простих метричних потенціалів: $U$, $U_{ij}$, ${\mathrm{\Phi }}_W$, $A$, ${\mathrm{\Phi }}_1$, ${\mathrm{\Phi }}_2$, ${\mathrm{\Phi }}_3$, ${\mathrm{\Phi }}_4$, $V_i$ і $W_i$Шаблон:Sfn, стільки ж, як і ППН параметрів, що гарантує єдиність ППН розв'язку для кожної теорії гравітаціїШаблон:Sfn. Форма цих потенціалів нагадує гравітаційний потенціал ньютонівської теорії — вони дорівнюють визначеним інтегралам за розподілом матерії, наприкладШаблон:Sfn,

$U(𝐱,t)=\int \frac{{\rho }_0}{|𝐱-{𝐱}^{\prime }|}{d}^3{x}^{\prime }.$

Повний список визначень метричних потенціалів див. у роботах Мізнера, Торна, Вілера (Misner et al., 1973Шаблон:Sfn), Вілла (1981Шаблон:Sfn, 2014Шаблон:Sfn) та ін.

Процедура отримання ППН параметрів з теорії гравітації

Приклади аналізу можна знайти у книзі Вілла, 1981Шаблон:Sfn. Процес складається з дев'яти стадійШаблон:Sfn:

• Крок 1: Визначення змінних: (a) динамічні гравітаційні змінні, такі як метрика $g_{\mu \nu }$, гравітаційне скалярне $\varphi$, векторне $K_{\mu }$ та/або тензорне поле $B_{\mu \nu }$ тощо; (b) змінні переважної геометрії, такі як плоска фонова метрика ${\eta }_{\mu \nu }$, космологічний час $t$ тощо; (c) змінні матеріальних (негравітаційних) полів.

• Крок 2: Встановлення космологічних граничних умов: припускаючи всесвіт Фрідмана (однорідний та ізотропний), вводимо ізотропні координати в системі спокою Всесвіту (повне космологічне рішення для цього потрібно не завжди). Отримані фонові космологічні поля називаємо $g_{\mu \nu }^{(0)}=\text{diag}(-c_0,c_1,c_1,c_1)$, ${\varphi }_0$, $K_{\mu }^{(0)}$, $B_{\mu \nu }^{(0)}$.

• Крок 3: Вводимо нові змінні $h_{\mu \nu }=g_{\mu \nu }-g_{\mu \nu }^{(0)}$, а якщо необхідно, то й $\varphi -{\varphi }_0$, $K_{\mu }-K_{\mu }^{(0)}$, $B_{\mu \nu }-B_{\mu \nu }^{(0)}$.

• Крок 4: Підставляємо отримані вирази та тензор енергії-імпульсу матерії (зазвичай ідеальної рідини) у рівняння гравітаційного поля та відкидаємо члени надто високого порядку для $h_{\mu \nu }$ та інших динамічних гравітаційних змінних.

• Крок 5: Розв'язуємо рівняння для $h_{00}$ із точністю до $O(2)$. Припускаючи, що ця величина далеко від системи прямує до нуля, отримуємо форму $h_{00}=2\alpha U$, де $U$ — гравітаційний потенціал Ньютона, а $\alpha$ може бути складною функцією, що включає гравітаційну «сталу» $G$. Ньютонова метрика має форму $g_{00}=-c_0+2\alpha U$, $g_{0j}=0$, $g_{ij}={\delta }_{ij}{c}_1$. Переходимо до одиниць, у яких гравітаційна «стала», виміряна зараз далеко від гравітувальної матерії, дорівнює одиниці $G_{\text{today}}=\alpha /c_0{c}_1=1$.

• Крок 6: З лінеаризованої версії польових рівнянь отримуємо $h_{ij}$ із точністю до $O(2)$ і $h_{0j}$ із точністю до $O(3)$.

• Крок 7: Знаходимо $h_{00}$ із точністю до $O(4)$. Це найскладніший етап, оскільки рівняння тут стають нелінійними. Тензор енергії-імпульсу також необхідно розкласти до потрібного порядку.

• Крок 8: Переходимо до стандартного ППН калібрування.

• Крок 9: Порівнюючи отриману метрику $g_{\mu \nu }$ з відомим ППН виразом, визначаємо ППН параметри теорії.

Порівняння теорій гравітації

Таблицю, що представляє ППН параметри 23 теорій гравітації, наведено в статті «Альтернативні теорії гравітації».

Більшість метричних теорій можна поділити за кількома категоріями. Шаблон:Нп включають конформно-плоскі теорії та стратифіковані теорії з просторовими перерізами, строго ортогональними часовому напрямку.

У конформно-плоских теоріях, наприклад, Шаблон:Нп, метрика дорівнює $𝐠=f\mathit{\eta }$ і тому $\gamma =-1$ що абсолютно несумісне зі спостереженнями. У стратифікованих теоріях, наприклад, Шаблон:Не перекладено, метрика дорівнює $𝐠=f_1𝐝t\otimes 𝐝t+f_2\mathit{\eta }$ і, отже, ${\alpha }_1=-4(\gamma +1)$, що знову-таки суперечить спостереженням.

Інший клас теорій — квазілінійні теорії типу теорії Вайтгеда. Для них $\xi =\beta$. Оскільки відносні амплітуди гармонік земних припливів залежать від $\xi$ і ${\alpha }_2$, то їх виміри дозволяють відхилити всі подібні теорії, виключаючи таке велике значення $\xi$.

Ще один клас теорій — біметричні теорії. Для них ${\alpha }_2$ не дорівнює 0. З даних щодо прецесії осі обертання мілісекундних пульсарів ми знаємо, що $|{\alpha }_2|<2\cdot 10^{-9}$, і це ефективно відхиляє біметричні теорії.

Далі йдуть скалярно-тензорні теорії, наприклад, теорія Бранса — Діке. Для таких теорій у першому наближенні $\gamma =\frac{1+\omega }{2+\omega }$. Межа $\gamma -1<2.3\times 10^{-5}$ дає дуже мале $1/\omega$, що характеризує ступінь «скалярності» гравітаційної взаємодії, а в міру уточнення експериментальних даних межа на $\omega$ все продовжує збільшуватися, отже такі теорії стають менш імовірними.

Останній клас теорій — векторно-тензорні теорії. Для них гравітаційна «стала» змінюється з часом і ${\alpha }_2$ не дорівнює 0. Лазерна локація Місяця сильно обмежує варіацію гравітаційної «сталої» та $|{\alpha }_2|<2\cdot 10^{-9}$ так що ці теорії також не виглядають надійними.

Деякі метричні теорії не потрапляють до виділених категорій, але мають подібні проблеми.

Експериментальні обмеження на ППН параметри

Значення взято з огляду Вілла, 2014Шаблон:Sfn.

Параметр	Межі	Ефекти	Експеримент
$\gamma -1$	$2.3\cdot 10^{-5}$	Ефект Шапіро, гравітаційне відхилення світла	Траєкторія «Кассіні — Гюйгенса»
$\beta -1$	$8\cdot 10^{-5}$	Ефект Нордтведта, зсув перигелію	Лазерна локація Місяця, рухи планет у Сонячній системі
$\xi$	$4\cdot 10^{-9}$	Прецесія осі обертання	Мілісекундні пульсари
${\alpha }_1$	$4\cdot 10^{-5}$	Зсув площини орбіти	Лазерна локація Місяця, пульсар J1738+0333
${\alpha }_2$	$2\cdot 10^{-9}$	Прецесія осі обертання	Мілісекундні пульсари
${\alpha }_3$	$4\cdot 10^{-20}$	Самоприскорення	Статистика сповільнення пульсарів
${\zeta }_1$	$0.02$	-	Комбінована межа різних експериментів
${\zeta }_2$	$4\cdot 10^{-5}$	Прискорення подвійних пульсарів	PSR 1913+16
${\zeta }_3$	$10^{-8}$	Третій закон Ньютона	Прискорення Місяця
${\zeta }_4$	$0.006$‡	-	Не є незалежним

‡ За $6{\zeta }_4=3{\alpha }_3+2{\zeta }_1-3{\zeta }_3$ з робіт Вілла (1976Шаблон:Sfn, 2014Шаблон:Sfn). Теоретично в деяких теоріях гравітації можливий обхід цього обмеження, тоді застосовною є слабша межа $|{\zeta }_4|<0.4$ зі статті Ні (1972Шаблон:Sfn).

Література

Основна

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Стаття

Додаткова

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття