Орисфера

Файл:Horocycle in Poincare disk model.PNG

Спряжені орисфери в моделі Пуанкаре.

У фінслеровій геометрії, орисфера визначається як межа сімейства сфер, таким чином.

Зафіксуємо точку $p$ фінслерового простору та геодезичний промінь $l$, що виходить з цієї точки. Розглянемо сімейство сфер $S(r,O),O\in l$, що проходять через точку $p$, центри яких розташовані на промені $l$. Межа послідовності цих сфер, коли радіус $r$ зростає до нескінченності, називається орисферою.

Пов'язані визначення

• Орисфера $H_{l^{-}}$, що проходить через точку $p$, і побудована за променем $l^{-}$, протилежно спрямованому променю $l$, називається спряженою до орисфери $H_{l^{+}}$, побудованої по променю $l$.
• Орикуля — тіло обмежене орисферою.
• На двовимірній фінслеровій поверхні орисфера називається орициклом.
• Сімейство орисфер, для якого точка $p$ пробігає всю пряму $l$, доповнене сімейством прямих «паралельних» $l$ утворює орициклічну систему координат.

Приклади

• В евклідовому просторі орисферами є евклідові площини. Відповідно, в евклідовій площині орициклом буде пряма. Отже, поняття орисфери в такому сенсі узагальнює поняття площини.

Гіперболічний простір

Шаблон:Див. також Залежно від моделі гіперболічної геометрії, орисфери мають такий вигляд:

• В моделі Пуанкаре в кулі ${\mathrm{\Delta }}^n$ орисферами будуть сфери, дотичні до абсолюту та круги, що проходять через центр сфери ${\mathrm{\Delta }}^n$.
• В моделі Пуанкаре у верхньому півпросторі ${ℍ}^n=\{(x_1,\dots ,x_n)\in {ℝ}^n|x_n>0\}$ орисферами будуть сфери, дотичні до площини $x_n=0$ (абсолюту) та площини $x_n=C,(C>0)$.

Властивості орисфер у многовидах Адамара

Многовидом Адамара називається повний однозв'язний ріманів многовид недодатної секційної кривини. Прикладом буде гіперболічний простір, як многовид сталої секційної кривини −1.

У многовиді Адамара класу $C^{\mathrm{\infty }}$ орисфера буде поверхнею класу $C^2$. Тому для орисфер у многовиді Адамара існує нормальна кривина в кожній точці в будь-якому напрямку.

Відомо, що для сфер многовиду Адамара з обмеженими секційними кривинами $0>-k_1^2⩾K_{\sigma }⩾-k_2^2,k_1,k_2>0$ нормальна кривина сфер обмежена $k_2⩾k_n⩾k_1$. Оскільки, орисфера буде межею сфер, то нормальна кривина орисфер буде обмеженою: $k_2⩾k_n⩾k_1.$

Як наслідок отримуємо, що нормальна кривина орисфер у гіперболічному просторі дорівнює 1. А отже, у внутрішній метриці, Шаблон:Нп гіперболічним простором, орисфера ізометрична евклідовому простору. Шаблон:Hider