Оператор набла у різних системах координат

Загальний вираз

Загальний вираз для оператора ∇ у довільній системі координат можна записати так:

$\mathrm{\nabla }\circ 𝐀=\sum _m{i}_m\circ \frac{\partial 𝐀}{\partial r_m}=i_1\circ \frac{\partial 𝐀}{\partial r_1}+i_2\circ \frac{\partial 𝐀}{\partial r_2}+i_3\circ \frac{\partial 𝐀}{\partial r_3}$,

де "$\circ$" - будь-який з трьох значків, що відповідають дії оператора ∇:

• " " - градієнт;
• " · " - дивергенція;
• " × " - ротор.

Елементи $\partial r_m$ у цьому записі відповідають елементам радіус-вектора у відповідній системі координат:

$d𝐫=\sum _m{i}_m\partial r_m=i_1\partial r_1+i_2\partial r_2+i_3\partial r_3$

Іншими словами, першою дією є взяття часткової похідної $\frac{\partial 𝐀}{\partial r_m}$ за проєкцією радіус-вектора від цілого вектора $𝐀$ (з урахуванням похідних орт у цій системі координат), і лише потім множення (просте для градієнту, скалярне для дивергенції та векторне для ротору) орта напрямку на $\frac{\partial 𝐀}{\partial r_m}$.

При цьому достатньо знати вирази:

• у циліндричних координатах: $\frac{\partial i_{\rho }}{\partial \phi }=i_{\phi }$ і $\frac{\partial i_{\phi }}{\partial \phi }=-i_{\rho }$;
• у сферичних координатах: $\frac{\partial i_r}{\partial \theta }=i_{\theta }$, $\frac{\partial i_{\theta }}{\partial \theta }=-i_r$, $\frac{\partial i_r}{\partial \phi }=i_{\phi }\sin \theta$, $\frac{\partial i_{\theta }}{\partial \phi }=i_{\phi }\cos \theta$ і $\frac{\partial i_{\phi }}{\partial \phi }=-i_r\sin \theta -i_{\vartheta }\cos \theta$.

Наприклад, запис дивергенції у циліндричних координатах отримуємо так:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀=i_{\rho }\cdot \frac{\partial }{\partial \rho }(i_{\rho }{A}_{\rho }+i_{\phi }{A}_{\phi }+i_z{A}_z)+\frac{1}{\rho }{i}_{\phi }\cdot \frac{\partial }{\partial \phi }(i_{\rho }{A}_{\rho }+i_{\phi }{A}_{\phi }+i_z{A}_z)+i_z\cdot \frac{\partial }{\partial z}(i_{\rho }{A}_{\rho }+i_{\phi }{A}_{\phi }+i_z{A}_z)=$

$=\frac{\partial A_{\rho }}{\partial \rho }+(\frac{1}{\rho }{i}_{\phi }\cdot \frac{\partial i_{\rho }}{\partial \phi }{A}_{\rho })+\frac{1}{\rho }\frac{\partial A_{\phi }}{\partial \phi }+\frac{\partial A_z}{\partial z}=(\frac{\partial A_{\rho }}{\partial \rho }+\frac{A_{\rho }}{\rho })+\frac{1}{\rho }\frac{\partial A_{\phi }}{\partial \phi }+\frac{\partial A_z}{\partial z}=$

$=\frac{1}{\rho }\frac{\partial (\rho A_{\rho })}{\partial \rho }+\frac{1}{\rho }\frac{\partial A_{\phi }}{\partial \phi }+\frac{\partial A_z}{\partial z}$

Джерела

• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч2