Нерівність трикутника Ружі

Нері́вність трику́тника Ружі пов'язує всі попарні множини різниць трьох множин у довільній групі.

Формулювання

Нехай $(G,+)$ — група і $U,V,W\subset G$.

Тоді $|U|\cdot |V-W|\le |V-U|\cdot |U-W|$, де $A-B=\left\{a-b:a\in A,b\in B\right\}$.

Нерівність трикутника із додаванням

Є ще одна нерівність, аналогічна нерівності трикутника Ружі, яка, однак, доводиться складніше, ніж класична — з використанням нерівності Плюннеке — Ружі, яку саму доводять зі використанням класичної нерівності Ружі.

$|U|\cdot |V+W|\le |V+U|\cdot |U+W|$

Доведення

Розглянемо функцію $\phi :(V-U)\times (U-W)\to (V-W)$, що визначається як $\phi (x,y)=x+y$. Тоді для кожного образу $v-w\in V-W$ існує не менше $|U|$ різних прообразів вигляду $(v-u,u-w),u\in U$. Це означає, що загальна кількість прообразів не менша, ніж $|V-W||U|$ . Значить, $|U||V-W|\le |V-U||U-W|$.

Аналогія з нерівністю трикутника

Розглянемо функцію, що визначає «відстань між множинами» в термінах різниці Мінковського:

$\rho (A,B)=\log \frac{|A-B|}{\sqrt{|A||B|}}$

Ця функція не є метрикою, тому що для неї не виконується рівність $\rho (A,A)=0$, але вона, очевидно, симетрична, і з нерівності Ружі безпосередньо випливає нерівність трикутника для неї:

$\rho (V,W)\le \rho (V,U)+\rho (U,W)$

Наслідки

Підставивши $V=W=A,U=B$, отримаємо

$|B|\cdot |A-A|\le |A-B{|}^2$

$|A-A|\le \left(\frac{|A-B|}{|B|}\right)\cdot |A-B|$

$|A-B|\le K\cdot |B|,K\in ℝ\Rightarrow |A-A|\le K^2\cdot |B|$

Підставивши $W=-W^{\prime }$, отримаємо

$|U|\cdot |V+W^{\prime }|\le |V-U|\cdot |U+W^{\prime }|$

Підставивши $U=-U^{\prime }$, отримаємо

$|U^{\prime }|\cdot |V-W|\le |V+U^{\prime }|\cdot |U^{\prime }+W|$.

Див. також

• Нерівність Плюннеке — Ружі