Мрія другокурсника (математична тотожність)

Шаблон:UniboxУ математиці мрія другокурсника або мрія софомора (Шаблон:Lang-en — студент-другокурсник у США) — пара тотожностей:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{-x}dx=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^{-n}$

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{x}dx=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}{n}^{-n}=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-n{)}^{-n}$

Історія

Тотожності відкрив 1697 року Йоганн Бернуллі. Числові значення цих констант становлять приблизно 1.291285997 і 0.7834305107, відповідно.

Назва «мрія другокурсника» з'явилась пізніше. Вона є відсиланням до «мрії першокурсника», яка означає жартівливу хибну тотожність $(x+y{)}^n=x^n+y^n$. Однак, на відміну від неї, мрія другокурсника — пара істинних тотожностей.

Доведення

Доведення цих тотожностей аналогічні, тому тут наведемо тільки одне з них.

Спочатку, подамо $x^x$ як:

$x^x=\exp (x\log x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n(\log x{)}^n}{n!}$.

Тоді

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{x}dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n(\log x{)}^n}{n!}dx$.

За властивістю рівномірної збіжності степеневих рядів можна поміняти місцями підсумовування й інтеграл. Одержимо:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{x}dx=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^n(\log x{)}^n}{n!}dx$.

Щоб отримати наведені вище інтеграли, замінимо змінну $x=\exp (-\frac{u}{n+1})$. Після цієї заміни межі інтеграла перетворюються на $0<u<\mathrm{\infty }$, що дає нам:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^n(\log x{)}^{n}dx=(-1{)}^n(n+1{)}^{-(n+1)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{u}^n{e}^{-u}du$.

За інтегральною тотожністю Ейлера для гамма-функції:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{u}^n{e}^{-u}du=n!$,

тому:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^n(\log x{)}^n}{n!}dx=(-1{)}^n(n+1{)}^{-(n+1)}$.

Підсумувавши і змінивши індексацію (вона починається з n=1, а не з n=0), отримаємо шукану тотожність.

Версії доведень

Початкове доведення, яке дав Бернуллі і подане в сучасному вигляді, відрізняється від наведеного вище в частині розрахунку інтеграла $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^n(\log x{)}^{n}dx$, але в іншому ідентичне за винятком технічних деталей. Замість інтегрування методом підстановки, використовуючи гамма-функцію (яка на момент доведення ще не була відома), Бернуллі використав інтегрування частинами.