Модель теплоємності Ейнштейна

Шаблон:Фізична теорія Шаблон:Додаткові джерела Запропонована Ейнштейном модель теплоємності твердого тіла виходить з припущення, що тверде тіло складається з осциляторів з певною власною частотою $\omega$, які підкоряються статистиці, аналогічній статистиці світлових квантів у теорії випромінювання абсолютно чорного тіла Планка

Математичне формулювання

Для системи, що складається з N тривимірних осциляторів, внутрішня енергія задається фомулою

$U=3N\frac{\hslash \omega }{e^{\hslash \omega /k_{B}T}-1}$,

де $\hslash$ — приведена стала Планка, $k_B$ — стала Больцмана, T — абсолютна температура.

Відповідно, теплоємність:

$C_V={\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)}_V=3k_{B}N{\left(\frac{\hslash \omega }{k_{B}T}\right)}^2\frac{e^{\hslash \omega /k_{B}T}}{{(e^{\hslash \omega /k_{B}T}-1)}^2}$

Успіхи й недоліки

Теорія Ейнштейна пояснює закон Дюлонга-Пті при високих температурах і падіння теплоємності до нуля при низьких температурах, однак не може кількісно відтворити закон цього падіння. Недоліком теорії є те, що вона не враховує взаємодію між осциляторами. Врахувавши таку взаємодію в 1912 році Петер Дебай побудував теорію теплоємності, яка правильно відтворює кубічну залежність теполоємності від температури при низьких температурах (закон Дебая).

Теорію Ейнштейна можна також з успіхом застосовувати для обчислення вкладу в теплоємність оптичних фононів, нехтуючи їхньою дисперсією.

Джерела

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book