Модель Дебая

Шаблон:Фізична теорія У термодинаміці і фізиці твердого тіла модель Дебая — метод, розвинений Дебаєм в 1912 р. для оцінки фононного внеску до теплоємності твердого тіла. Модель Дебая розглядає коливання кристалічної ґратки як газ квазічастинок (фононів) у ящику, на відміну від моделі Ейнштейна, яка інтерпретує тверде тіло як набір багатьох окремих невзаємодіючих квантових гармонічних осциляторів). Ця модель точніше передбачає залежність теплоємності за низьких температур як такої, що пропорційна $T^3$ — так званий закон Дебая. У граничному випадку високих температур величина теплоємності за моделлю Дебая збігається з результатом моделі Ейнштейна, прямуючи до $3R$, відповідно до закону Дюлонга — Пті. Однак за проміжних температур точність моделі Дебая зменшується внаслідок її певних спрощувальних припущень.

Молярна теплоємність твердого тіла в теорії Дебая

У моделі Дебая враховано, що теплоємність твердого тіла це параметр рівноважного стану термодинамічної системи. Тому хвилі, що збуджуються в твердому тілі елементарними осциляторами, не можуть переносити енергію. Тобто вони є стоячими хвилями [1]. Якщо тверде тіло вибрати у вигляді прямокутного паралелепіпеду з ребрами a, b, c, то умови існування стоячих хвиль можна записати у вигляді:

n₁·λ_x/2=a; (1)

n₂·λ_y/2=b; (2)

n₃·λ_z/2=c; (3)

(n₁, n₂, n₃ — цілі числа)

Перейдемо до простору, побудованого на хвильових векторах. Оскільки

K=2π/λ, (4)

то

K_x=2π/λ_x=π·n₁/a; (5)

K_y=2π/λ_y=π·n₂/b; (6)

K_z=2π/λ_z=π·n₃/c (7)

Таким чином, у твердому тілі можуть існувати осцилятори, з частотами, що змінюються дискретно. Одному осцилятору в К-просторі відповідає комірка з об'ємом

τ=∆K_x·∆K_y·∆K_z=$\frac{{\pi }^3}{a\cdot b\cdot c}=\frac{{\pi }^3}{V}$, (8)

де

∆K_x=π/a; (9)

∆K_y=π/b; (10)

∆K_z=π/c (11)

В к-просторі осциляторам з частотами в інтервалі (ω, ω+dω) відповідає один октант сферичного шару з об'ємом

dV_k=4πK²dK/8=πK²dK/2 (12)

В цьому об'ємі кількість осциляторів дорівнює

dN_k=dV_k/τ=$\frac{V{K}^{2}dK}{2{\pi }^2}$ (13)

Врахуємо, що кожен осцилятор генерує 3 хвилі: 2 поперечні та одну поздовжню. При цьому

K_||=ω/v_||, (14)

K_⊥=ω/v_⊥ (15)

Знайдемо внутрішню енергію одного молю твердого тіла $U_M$. Для цього обчислимо кількість коливань, що відповідають поздовжнім і поперечним хвилям.

$d{N}_k=d{N}_{\Vert }+2d{N}_{\mathrm{\perp }}$ (16)

$d{N}_{\Vert }=\frac{V}{2{\pi }^2}\frac{{\omega }^{2}d\omega }{v_{\Vert }^3}$ (17)

$d{N}_{\mathrm{\perp }}=\frac{V}{2{\pi }^2}\frac{{\omega }^{2}d\omega }{v_{\mathrm{\perp }}^3}$ (18)

$d{N}_k=\frac{V}{2{\pi }^2}(\frac{1}{v_{\Vert }^3}+\frac{2}{v_{\mathrm{\perp }}^3}){\omega }^{2}d\omega =A{\omega }^{2}d\omega$ (19)

Тому $U_M$ дорівнює

$U_M=\underset{0}{\overset{{\omega }_m}{\int }}<\epsilon >\frac{V}{2{\pi }^2}(\frac{1}{v_{\Vert }^3}+\frac{2}{v_{\mathrm{\perp }}^3}){\omega }^{2}d\omega ,$ (20)

де <є> — середня енергія квантового осцилятора (див. Модель теплоємності Ейнштейна).

Коливання у твердому тілі обмежені максимальним значенням частоти ${\omega }_m$. Визначимо граничну частоту з умови:

$N=\int d{N}_k=\underset{0}{\overset{{\omega }_m}{\int }}A{\omega }^{2}d\omega =A\frac{{\omega }_m^3}{3}=3N_a$ (21)

$d{N}_k=9N_a\frac{{\omega }^{2}d\omega }{{\omega }_m^3}$ (22)

Звідси:

$U_M=\int <\epsilon >d{N}_k=\underset{0}{\overset{{\omega }_m}{\int }}\hslash \omega (\frac{1}{e^{\frac{\hslash \omega }{K_{B}T}}-1}+\frac{1}{2})9N_a\frac{{\omega }^{2}d\omega }{{\omega }_m^3}$ (23)

Кв — постійна Больцмана.

Na — число Авогадро.

В останньому виразі зробимо наступну заміну змінних:

$X=\frac{\hslash \omega }{K_{B}T}$; (24)

$\frac{\hslash {\omega }_m}{K_B}=\mathrm{\Theta }$; (25)

$X_m=\frac{\hslash {\omega }_m}{K_{B}T}=\mathrm{\Theta }/T$; (26)

$\frac{\omega }{{\omega }_m}=X\frac{K_{B}T}{\hslash }\frac{\hslash }{K_B\mathrm{\Theta }}=X\frac{T}{\mathrm{\Theta }}=X\frac{K_{B}T}{\hslash {\omega }_m}$ (27)

Θ — температура Дебая

Тепер для U_M отримуємо

$U_M=9N_a\hslash \underset{0}{\overset{{\omega }_m}{\int }}(\frac{1}{e^x-1}+\frac{1}{2})\frac{{\omega }^{3}d\omega }{{\omega }_m^3}=9N_a\hslash {\left(\frac{T}{\theta }\right)}^3\frac{K_{B}T}{\hslash }\underset{0}{\overset{\frac{\theta }{T}}{\int }}(\frac{1}{e^x-1}+\frac{1}{2})x^{3}dx=$

$=9RT{\left(\frac{T}{\theta }\right)}^3\underset{0}{\overset{\frac{\theta }{T}}{\int }}(\frac{1}{e^x-1}+\frac{1}{2})x^{3}dx=9R\theta [\frac{1}{8}+{\left(\frac{T}{\theta }\right)}^4\underset{0}{\overset{\frac{\theta }{T}}{\int }}\frac{x^{3}dx}{e^x-1}]$ (28)

Нарешті для молярної теплоємності отримуємо

C=dU_M/dT=3R$[12{\left(\frac{T}{\mathrm{\Theta }}\right)}^3\underset{0}{\overset{\mathrm{\Theta }/T}{\int }}\frac{X^3}{e^X-1}dX-\frac{3\mathrm{\Theta }/T}{e^{\mathrm{\Theta }/T}-1}]$ (29)

Легко перевірити, що за умови T→∞

C→3R, (30)

а за умови T→0

C→$\frac{12R\cdot {\pi }^4}{5\cdot {\mathrm{\Theta }}^3}\cdot T^3$~T³ (31)

Таким чином, теорія Дебая відповідає результатам дослідів.

Інтеграл Бозе-Ейнштейна

Обчислимо для повноти викладу визначений інтеграл Шаблон:Webarchive

$I=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{X^3}{e^X-1}dX=\frac{{\pi }^4}{15}$ (32)

Позначимо

$I_n=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{X^3}{e^{nX}}dX=\frac{6}{n^4}$ (33)

Можна показати, що

$I-I_1=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{X^{3}dX}{e^{2X}-e^X}\approx I_2$ (34)

Аналогічно

$I-I_1-I_2\approx I_3$ (35)

При збільшенні кількості доданків до нескінченності отримуємо

$I=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{I}_n=6\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^4}$ (36)

Знайдемо суму ряду з використанням теореми Парсеваля. Для цього розкладемо функцію

$y=x^2$ (37)

в ряд Фур'є на інтервалі $(-\pi ,\pi )$. Коефіцієнти розкладу дорівнюють

$a_0=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{x}^{2}dx={\pi }^2/3$ (38)

$a_n=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{x}^2{e}^{inx}dx=2(-1{)}^n/n^2,n\ne 0$ (39)

Таким чином

$a_0^2={\pi }^4/9$ (40)

і

$a_n^2=4/n^4,n\ne 0$ (41)

Згідно теореми Парсеваля

${\pi }^4/9+8\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^4}=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_n^2=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{x}^{4}dx={\pi }^4/5$ (42)

Спрощуючи останній вираз, отримуємо остаточно

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^4}=\frac{{\pi }^4}{8}(1/5-1/9)={\pi }^4/90$ (43)

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга