Модель перетинних поколінь

Пітер Артур Даймонд

Пол Ентоні Самуельсон

Модель перетинних (пересічних) поколінь (модель Даймонда, модель Самуельсона — Даймонда, Шаблон:Lang-en) — модель екзогенного економічного зростання в умовах досконалої конкуренції. Розроблена в 1965 році Пітером Даймондом з використанням ідей Пола Самуельсона. У моделі відображено зміну споживчої поведінки індивіда з вікових причин. Це дозволило зробити кроки в напрямку розуміння того, яким чином рішення індивідів формують норму заощаджень в економіці. При цьому у моделі заперечуються альтруїстичні зв'язки між поколіннями, вона не дає задовільного пояснення відмінностям між країнами у рівні доходу на душу населення.

Історія створення

У перших моделях економічного зростання (модель Солоу, модель Харрода — Домара) використовувалися задані екзогенно параметри «норма заощаджень» та «темп науково-технічного прогресу», від яких, зрештою, і залежали темпи зростання, які демонстрували моделі. Дослідники ж хотіли отримати обґрунтування темпів економічного зростання внутрішніми (ендогенними) факторами, оскільки моделі зі заздалегідь визначеною нормою заощаджень мали низку недоліків. Наприклад, вони не пояснювали стійкі відмінності у рівнях і темпах зростання між розвиненими країнами та країнами, що розвиваються. У моделі Рамсея — Касса — Купманса було подолано недолік екзогенності норми заощаджень. Однак вона зберегла інший недолік ранніх моделей — в ній розглядається безсмертний індивід (або домогосподарство) як рівномірний вічний споживачШаблон:Sfn. Але у реальності з часом характер фінансової та споживчої поведінки змінюється. Якщо в молодому віці індивід працює і робить заощадження, то в літньому віці він ці заощадження витрачаєШаблон:Sfn. Саме на це майбутній лауреат Нобелівської премії з економіки Пол Самуельсон звернув прискіпливу увагу. У грудні 1958 року він опублікував роботу «Моделювання відсоткової ставки на основі співвідношення споживання та кредитування за наявності або відсутності соціальної концепції грошей», в якій була представлена проста модель економіки на основі ідей Ойґен фон Бем-Баверка про причини існування відсоткового доходу на капітал, де були виділені три періоди життя індивідуума та відповідне цим періодам споживання (у перших двох він працює, у третьому — виходить на пенсію)Шаблон:Sfn. У грудні 1965 року Пітер Даймонд, також майбутній лауреат Нобелівської премії з економіки, опублікував роботу «Національний борг у неокласичній моделі зростання» у журналі The American Economic Review, в якій він розвинув ідеї Самуельсона з урахуванням висновків моделі Солоу та моделі Рамсея-Касса-Купманса і представив модель перетинних поколіньШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn, також відому як модель ДаймондаШаблон:Sfn або модель Самуельсона — ДаймондаШаблон:Sfn.

Опис моделі

Базові передумови

У моделі розглядається закрита економіка. Фірми функціонують за умов досконалої конкуренції та максимізують свій прибуток, а споживачі — корисність своїх витрат. Виготовляється лише один продукт $Y$, що використовується як для споживання $C$, так і для виробничих потреб (враховується як інвестиції) $I$. Темпи технологічного прогресу $g$, зростання населення $n$ та норма вибуття обладнання (капіталу) $\delta$ — постійні і задаються екзогенно. Індивідууми живуть два періоди: у першому вони працюють, споживають та зберігають, у другому — лише споживають, витрачаючи власні заощадження з першого періоду (виходять на пенсію). Альтруїстичні зв'язки між поколіннями відсутні: молоді не допомагають людям похилого віку і не отримують спадщину. Час $t$ змінюється дискретно, тобто періоди не мають власної тривалостіШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn. Один період моделі відповідає зміні виробничих поколінь, тобто у реальному вираженні еквівалентний приблизно 25—30 рокамШаблон:Sfn.

Закритість економіки означає, що вироблений продукт витрачається тільки на заощадження і споживання, експорт/імпорт відсутні, інвестиції завжді дорівнюють заощадженням: $S=I$, $Y=C+I$Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Виробнича функція $Y(K,L,E)$ задовольняє неокласичним передумовамШаблон:Sfn:

1. технологічний прогрес збільшує продуктивність праці (нейтральний за Харродом): $Y_t=Y(K_t,L_t{E}_t),E_t=(1+g)E_{t-1},g=const$.
2. у виробничій функції використовується праця $L$ та капітал $K$, вона має постійну віддачу від масштабу: $Y(aK,aLE)=aY(K,LE)$.
3. гранична продуктивність факторів позитивна та спадна: $\frac{\partial Y}{\partial K}>0,\frac{{\partial }^{2}Y}{\partial K^2}<0,\frac{\partial Y}{\partial L}>0,\frac{{\partial }^{2}Y}{\partial L^2}<0$.
4. виробнича функція задовольняє умовам Інади, а саме, якщо запас одного з факторів нескінченно малий, то його гранична продуктивність нескінченно велика, якщо запас одного з факторів нескінченно великий, то його гранична продуктивність нескінченно мала: $\underset{K\to 0}{\lim }\frac{\partial Y}{\partial K}=\underset{L\to 0}{\lim }\frac{\partial Y}{\partial L}=+\mathrm{\infty },\underset{K\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\partial Y}{\partial K}=\underset{L\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\partial Y}{\partial L}=0$.
5. для виробництва необхідні всі фактори: $Y(K,0)=Y(0,LE)=0$.

Населення $L_t$ зростає з постійним темпом $n$ : $L_t=(1+n)L_{t-1},n=const$. У кожному періоді $t$ живе $L_t$ молодих та $L_{t-1}$ літніх індивідів. Сукупне споживання $C$ дорівнюєШаблон:Sfn:

$C_t=c_{1t}{L}_t+c_{2t}{L}_{t-1}$

де $c_{1t}{L}_t$ — споживання працюючого покоління, $c_{2t}{L}_{t-1}$ — споживання покоління, що вийшло на пенсію.

Молодий індивід пропонує одну одиницю праці (пропозиція праці нееластична) і отримує натуральну заробітну плату (деякою кількістю єдиного виробленного товару, гроші відсутні). Кожен індивід обирає і розподіляє отримане між споживанням зараз (у молодості) або заощадженням (споживанням у старості), максимізуючи міжчасову корисність своїх витрат, яка описується наступною функцієюШаблон:Sfn:

$U_t=\frac{c_{1t}^{1-\theta }-1}{1-\theta }+\frac{1}{1+\rho }\times \frac{c_{2t+1}^{1-\theta }-1}{1-\theta }$

де $\frac{1}{\theta }$ — еластичність заміщення за часом, $\theta >0$, $\theta =const$, $\rho$ — коефіцієнт міжчасової переваги споживача, $\rho >-1$, $\rho =const$.

Функція відповідає умовам $u^{\prime }(c)>0,u^{″}(c)<0$ і умовам Інади (при споживанні, що прагне до нуля, гранична корисність прагне нескінченності; при споживанні, що прагне нескінченності, гранична корисність прагне нуля): $\underset{c\to 0}{\lim }{u}^{\prime }(c)=+\mathrm{\infty };\underset{c\to \mathrm{\infty }}{\lim }{u}^{\prime }(c)=0$.

Спочатку весь капітал $K_0$ перебуває у літніх, вони його повністю витрачають протягом першого періоду. Заощадження дорівнюють інвестиціям, які робить молоде покоління. Інвестиції своєю чергою дорівнюють капіталу в наступному періодіШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$S_t=s_t{L}_t=I_t=K_{t+1}$

де $s_t$ — заощадження в розрахунку на одного працівника.

Для пошуку рішення моделі використовуються питомі показники: випуск на одиницю ефективної праці $y=\frac{Y}{LE}$, капітал на одиницю ефективної праці $k=\frac{K}{LE}$Шаблон:Sfn.

Мета споживача

Споживач максимізує міжчасову корисність своїх витрат. Оскільки, згідно з моделлю, індивід працює тільки молодим (у першому періоді), міжчасове бюджетне обмеження споживача відповідає формуліШаблон:Sfn:

$c_{1t}+\frac{c_{2t+1}}{1+r_{t+1}}=w_t{E}_t$

Таким чином, мета споживача має такий вигляд:

$U_t\to max$

за умови:

$w_t{E}_t-c_{1t}-\frac{c_{2t+1}}{1+r_{t+1}}=0$

де $w_t$ — реальна заробітна плата в періоді $t$.

Для вирішення цього завдання складається функція Лагранжа і знаходиться її максимумШаблон:Sfn.

$L=\frac{c_{1t}^{1-\theta }-1}{1-\theta }+\frac{c_{2t}^{1-\theta }-1}{(1-\theta )(1+\rho )}+\lambda (w_t{E}_t-c_{1t}-\frac{c_{2t+1}}{r_{t+1}})$

Умови максимуму:

$\{\begin{array}{c}\frac{\partial L}{\partial c_{1t}}=c_{1t}^{-\theta }-\lambda =0,\\ \frac{\partial L}{\partial c_{2t+1}}=\frac{c_{2t+1}^{-\theta }}{1+\rho }-\frac{\lambda }{1+r_{t+1}}=0,\\ \frac{\partial L}{\partial \lambda }=w_t{E}_t-c_{1t}-\frac{c_{2t+1}}{1+r_{t+1}}=0.\end{array}$

Результатом розв'язання цієї системи рівнянь є норма заощаджень ${\overline{s}}_t$ для періоду $t$Шаблон:Sfn:

${\overline{s}}_t=\frac{{(1+r_{t+1})}^{\frac{1-\theta }{\theta }}}{(1+\rho {)}^{\frac{1}{\theta }}+{(1+r_{t+1})}^{\frac{1-\theta }{\theta }}}$

Мета фірми

Фірма максимізує свій прибуток $\pi$. Випуск фірми описується неокласичною виробничою функцієюШаблон:Sfn:

$y_t=f({\hat{k}}_t)$, де ${\hat{k}}_t=\frac{K_t}{L_t{E}_t}$

Мета фірми виглядає так:

$\pi =F(K_t,L_t)-r_t{K}_t-w_t{L}_t\to \max$

В умовах досконалої конкуренції рішення завдання фірми призводить до того, що плата за працю (заробітна плата) $w$ та плата за капітал $r$ (відсоткова ставка) дорівнюють відповідним граничним продуктивностямШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$\frac{\partial Y_t}{\partial L}=w_t=f({\hat{k}}_t)-{\hat{k}}_t{f}^{\prime }({\hat{k}}_t)$

$\frac{\partial Y_t}{\partial K}=r_t+\delta =f^{\prime }({\hat{k}}_t)$

Загальна економічна рівновага

Модель перетинних поколінь, фазова площина, варіант 1

Модель перетинних поколінь, фазова площина, варіант 2

Модель перетинних поколінь, фазова площина, виробнича функція Кобба — Дугласа, логарифмічна функція корисності: досягнення рівноваги

Згідно передумов моделі: $K_{t+1}=s_t{L}_t$. Звідки з урахуванням вирішення завдань споживача та фірми, отримуємоШаблон:Sfn:

${\hat{k}}_{t+1}=\frac{1}{(1+n)(1+g)}\times \frac{(1+f^{\prime }({\hat{k}}_{t+1})-\delta {)}^{\frac{1-\theta }{\theta }}}{(1+\rho {)}^{\frac{1}{\theta }}+(1+f^{\prime }({\hat{k}}_{t+1})-\delta {)}^{\frac{1-\theta }{\theta }}}\times (f({\hat{k}}_t)-{\hat{k}}_t{f}^{\prime }({\hat{k}}_t))$

Оскільки ${\hat{k}}_{t+1}$ входить як у праву, так і у ліву частини рівняння, знайти явні рішення цього рівняння можливо лише запровадивши додаткові припущення. За умови, що споживання у першому періоді та споживання у другому періоді є досконалими замінниками, тоді рівновага існує. Якщо при цьому заощадження монотонно зростають за процентною ставкою (${s_t}^{\prime }(r_t)>0$), то ця рівновага є єдиною.

Якщо позначити $s(r_{t+1},w_t)=\frac{s_t}{E_t}$, де $s(r_{t+1},w_t)$ — заощадження в розрахунку на одиницю праці з постійною ефективністю в період $t$, тоді рівняння набуде виглядуШаблон:Sfn:

$(1+n)(1+g){\hat{k}}_{t+1}=s([f^{\prime }({\hat{k}}_{t+1})-\delta ],[f({\hat{k}}_1)-{\hat{k}}_t{f}^{\prime }({\hat{k}}_t)])$

Звідки можливо вивести динаміку капіталоозброєностіШаблон:Sfn:

$\frac{\partial {\hat{k}}_{t+1}}{\partial {\hat{k}}_t}=\frac{-s{\text{'}}_w{\hat{k}}_t{f}^{″}({\hat{k}}_t)}{(1+n)(1+g)-s{\text{'}}_r{f}^{″}({\hat{k}}_{t+1})}$

Як результат можливо отримати два варіанти Шаблон:Iw (див. ілюстрації). У першому варіанті крива $\frac{\partial {\hat{k}}_{t+1}}{\partial {\hat{k}}_t}$ виходить з початку координат під кутом більше за 45° (вище лінії ${\hat{k}}_t={\hat{k}}_{t+1}$), тоді в моделі буде непарна кількість рівноважних станів (точки перетину $\frac{\partial {\hat{k}}_{t+1}}{\partial {\hat{k}}_t}$ та ${\hat{k}}_{t+1}={\hat{k}}_t$), з яких перетини, непарні по порядку від початку координат (перший, третій, п'ятий, тощо), будуть стійкими рівновагами, а які йдуть парними (другий, четвертий, тощо) — нестійкими.

У другому варіанті крива $\frac{\partial {\hat{k}}_{t+1}}{\partial {\hat{k}}_t}$ виходить з початку координат під кутом меншим за 45° (нижче лінії ${\hat{k}}_t={\hat{k}}_{t+1}$), тоді в моделі буде парна кількість рівноважних станів, з яких перетини, парні від початку координат (другий, четвертий, тощо), будуть стійкими рівновагами, а непарні (перший, третій, тощо) — нестійкимиШаблон:Sfn.

Рівновага для виробничої функції Кобба-Дугласа та логарифмічної функції корисності

Наочно досягнення рівноваги продемонструється у разі логарифмічної функції корисності та виробничої функції Кобба-Дугласа. В цьому випадку $\theta =0$, а корисність витрат для індивіда описується функцієюШаблон:Sfn:

$U=\ln (c_{1t})+\frac{\ln (c_{2t+1})}{1+\rho }$

Випуск $Y$ описується функцією:

$Y=K^{\alpha }(LE{)}^{1-\alpha }$

Тоді, норма заощаджень дорівнює: ${\overline{s}}_t=\overline{s}=\frac{1}{2+\rho }$, а стійкий рівень капіталоозброєності (у цьому випадку існує лише один рівноважний стан) дорівнюєШаблон:SfnШаблон:Sfn: ${\hat{k}}^{*}=(\frac{1-\alpha }{(1+n)(1+g)(2+\rho )}{)}^{\frac{1}{1-\alpha }}$.

Процес досягнення рівноваги на фазовій площині для цього випадку показано на ілюстрації.

Стійкий рівень випуску на одиницю праці з постійною ефективністю ${\hat{y}}^{*}$ у цьому випадку становить:

${\hat{y}}^{*}={\hat{k}}^{*\alpha }=(\frac{1-\alpha }{(1+n)(1+g)(2+\rho )}{)}^{\frac{\alpha }{1-\alpha }}$

Як і в моделях Солоу та Рамсея — Каса — Купманса, споживання максимальне у тому випадку, якщо $f^{\prime }({\hat{k}}^{*})=n+g+\delta$. Таким чином, у моделі можлива динамічна неефективність (надлишкове накопичення капіталу), в тому випадку, якщоШаблон:Sfn:

$\frac{\alpha (1+n)(1+g)(2+\rho )}{1-\alpha }<n+g+\delta$

Конвергенція

Модель передбачає наявність умовної конвергенції, тобто, що країни з малим рівнем капіталоозброєності зростатимуть вищими темпами, ніж країни із великим рівнем капіталоозброєності, за умови, що стійкий рівноважний стан у них однаковий. Окремий випадок з виробничою функцією Кобба — Дугласа та логарифмічною корисністю дозволяє оцінити, наскільки швидко конвергенція відбувається. Швидкість наближення до стану стійкої рівноваги оцінюють за допомогою лінійної апроксимації ${\hat{k}}_{t+1}$ в залежності від ${\hat{k}}_t$ за допомогою розкладання в ряд ТейлораШаблон:Sfn:

${\hat{k}}_{t+1}\approx {\hat{k}}^{*}+\frac{\partial {\hat{k}}_{t+1}}{\partial {\hat{k}}_t}{|}_{{\hat{k}}_t={\hat{k}}^{*}}({\hat{k}}_t-{\hat{k}}^{*})$

Якщо позначити похідну у точці рівноваги $\lambda =\frac{\partial {\hat{k}}_{t+1}}{\partial {\hat{k}}_t}{|}_{{\hat{k}}_t={\hat{k}}^{*}}$, тоді шляхом рекурентних замін виходить наступне рівняння наближення до рівноважного стану:

${\hat{k}}_{t+1}-{\hat{k}}^{*}={\lambda }^t({\hat{k}}_0-{\hat{k}}^{*})$

Для цього випадку, $\lambda =\alpha$ тому:

${\hat{k}}_{t+1}-{\hat{k}}^{*}={\lambda }^t({\hat{k}}_0-{\hat{k}}^{*})={\alpha }^t({\hat{k}}_0-{\hat{k}}^{*})$

Таким чином, у розглянутому випадку швидкість конвергенції безпосередньо залежить від $\alpha$ — частки доходу на капітал у загальному доході. Чим менша частка доходу на капітал (тобто, чим більша частка праці у вигляді заробітної плати, що можливо за умови малої капіталоозброєності), тим швидше відбувається рух до рівноважного стану, і тим швидше бідні країни наздоганяють багатихШаблон:Sfn.

Фіскальна політика в моделі

Модель перетинних поколінь, фазова площина, фіскальна політика

Модель дозволяє оцінити вплив фіскальної політики на рівновагу. В рамках моделі збільшення податків і державних витрат призводить до рівноваги з меншим рівнем капіталоозброєності, випуску та споживання. Вплив бюджетно-податкової політики показано на діаграмі. Крива $\frac{\partial {\hat{k}}_{t+1}}{\partial {\hat{k}}_t}$ зсувається вниз на розмір податків (державних витрат) на одиницю ефективної праці. Сума податків передбачається рівною розміру державних витрат (${\hat{G}}_t={\hat{T}}_t$), що не впливає на корисність індивідів та майбутній випуск. Рівновага зсувається з точки $A$ (стійка рівновага) до точки $B$ (стійка рівновага), і встановлюється на нижчому рівні капіталоозброєності ${\hat{k}}^{*}:{\hat{k}}_B^{*}<{\hat{k}}_A^{*}$ та споживання. З'являється третя рівноважна точка $C$, яка є нестійкою рівновагою. Шаблон:Iw не виконуєтьсяШаблон:SfnШаблон:Sfn. Таким чином, в моделі державні витрати витісняють як споживання, і інвестиціїШаблон:Sfn.

Переваги, недоліки та подальший розвиток моделі

Одним із суттєвих недоліків моделі є повна відсутність альтруїстичних зв'язків між поколіннямиШаблон:Sfn. Щоб подолати цей недолік, Шаблон:Iw, а також Роберт Барро та Шаблон:Iw запропонували ввести в функцію корисності витрат кожного індивіда корисність витрат його дітей з деяким коефіцієнтомШаблон:SfnШаблон:Sfn. Така модель перетворюється на дискретний аналог моделі Рамсея — Касса — Купманса для випадку, коли $\rho =0$. Динамічна неефективність стає неможливою, а наслідки бюджетно-податкової політики відповідають Шаблон:Iw. Однак у цьому випадку з'являються і недоліки моделі Рамсея — Касса — Купманса: втрачається можливість недосконалості ринку (динамічної неефективності), а значить, модель перестає пояснювати причини, що призводять до неоптимальної за Парето рівноваги в економіціШаблон:Sfn.

Пол Самуельсон використав цю модель для дослідження впливу розподільної (солідарної) пенсійної системи на загальну економічну рівновагу. В роботі робиться висновок: якщо в економіці встановилась динамічно неефективна рівновага з надлишковим накопиченням капіталу, то розподільна пенсійна система дозволяє перейти до оптимальнішого розподілу ресурсів з вищим споживаннямШаблон:SfnШаблон:Sfn. Якщо ж використовується накопичувальна пенсійна система, то економічна рівновага залишається незмінноюШаблон:Sfn.

Модифікація моделі з безперервним часом, в якій життя індивіда має деяку тривалість, але не поділяється на періоди молодості та старості, проте індивід може померти будь-якої миті з деякою ймовірністю, була розроблена Шаблон:IwШаблон:Sfn та Олів'є БланшаромШаблон:Sfn. Через те, що в цій модифікації ймовірність смерті індивіда не змінюється з віком, вона отримала назву «модель вічної молодості»Шаблон:Sfn. У ній існує єдине рівноважне значення капіталоозброєності, яке при цьому стійке, і так само, як переважно варіанті, є можливість надлишкового накопичення в точці рівновагиШаблон:Sfn.

В цілому, модель перетинних поколінь більш реалістично описує загальну економічну рівновагу та процес її досягнення, ніж моделі Солоу або Рамсея — Касса — КупмансаШаблон:Sfn. Перевагою моделі є можливість динамічної неефективності, однак у моделі вона пов'язана з надлишковим накопиченням капіталу, яке не є типовою проблемою країн, що розвиваються, навпаки, у них зазвичай спостерігається недостатність капіталуШаблон:Sfn. До того ж, модель передбачає наявність умовної конвергенції, що означає зростання бідних країн швидше за багатих за умови схожості структурних параметрів. Але в реальності цього не відбувається, як показали, наприклад, дослідження Шаблон:Iw та Шаблон:IwШаблон:Sfn, Дж. Де ЛонгаШаблон:Sfn, П. РомераШаблон:Sfn. Також, як і в моделях Солоу і Рамсея — Касса — Купманса, науково-технічний прогрес у моделі перетинних поколінь не є наслідком прийняття рішень економічними агентами, а задається екзогенно. Тому, попри всі свої переваги, модель не дає відповіді на питання, чому одні країни багаті, а інші — бідні, і чому другі не можуть наздогнати першихШаблон:Sfn.

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття