Метод рухливих клітинних автоматів

Шаблон:Картка Метод рухливих клітинних автоматів (MCA, від Шаблон:Lang-en) — це метод обчислювальної механіки деформованого твердого тіла, заснований на дискретному підході. Він поєднує переваги методу класичних клітинних автоматів і методу дискретних елементів. Важливою перевагою методу МСА є можливість моделювання руйнування матеріалу, включаючи генерацію пошкоджень, поширення тріщин, фрагментацію і перемішування речовини. Моделювання саме цих процесів викликає найбільші труднощі в методах механіки суцільних середовищ (метод скінченних елементів, метод скінченних різниць тощо), що є причиною розробки нових концепцій, наприклад, таких як перідинаміка. Відомо, що метод дискретних елементів дуже ефективно описує поведінку гранульованих середовищ. Особливості розрахунку сил взаємодії між рухомими клітинними автоматами дозволяють описувати в рамках єдиного підходу поведінку як гранульованих, так і суцільних середовищ. Так, при прагненні характерного розміру автомата до нуля формалізм методу MCA дозволяє перейти до класичних співвідношень механіки суцільного середовища.

Основні положення методу

Об'єкт (ліворуч) описується у вигляді набору взаємодіючих автоматів (у центрі). Праворуч представлено поле швидкостей автоматів.

У рамках методу MCA об'єкт моделювання описується як набір взаємодіючих елементів / автоматів. Динаміка безлічі автоматів визначається силами їх взаємодії і правилами для зміни їх стану. Еволюція цієї системи в просторі і в часі визначається рівняннями руху. Сили взаємодії та правила для зв'язаних елементів визначаються функціями відгуку автомата. Ці функції задаються для кожного автомата. Протягом руху автомата наступні нові параметри клітинного автомата розраховуються: Rⁱ - радіус-вектор автомата; Vⁱ - швидкість автомата; $\omega$ⁱ - кутова швидкість автомата; $\theta$ⁱ - вектор повороту автомата; mⁱ - маса автомата; Jⁱ - момент інерції автомата.

Нова концепція - концепція сусідів

Кожен автомат має декілька сусідів

Нова концепція методу MCA заснована на уявленні стану пари автоматів (пов'язує пару взаємодіючих автоматів) у додаток до звичайного стану окремого автомата. Зауважимо що облік цього визначення дозволяє перейти від статичної сіткової концепції до концепції сусідів. В результаті цього, автомати мають можливість змінювати своїх сусідів шляхом перемикання стану (залежностей) пар.

Визначення параметрів стану пари автоматів

Введення нового типу стану вимагає нового параметра використовується як критерію перемикання в стан пов'язані. Це визначається як параметр перекриття автоматів h^ij. І так, зв'язок клітинних автоматів характеризується величиною їх перекриття.

Початкова структура формується установкою властивостей особливого зв'язку між кожною парою сусідніх елементів.

Критерії перемикання пари автоматів у стан пов'язані

Пара автоматів ij зліва знаходяться у зв'язаному стані, справа - в незв'язаному.

У порівнянні з методом класичних клітинних автоматами в методі MCA не тільки одиничний автомат але і такожзв'язку автоматів можуть переключатися. Відповідно до концепції бістабільних автоматів вводиться два стани пари (взаємозв'язок):

пов'язані	обидва автомата належать одному суцільному тілу
незв'язані	кожен автомат належить різних тіл або фрагментів пошкодженого матеріалу

Отже,зміна стану зв'язку пари визначається відносним рухом автоматів, і середовище формується такими парами може бути названабістабільної середовищем.

Рівняння руху MCA

Еволюція MCA середовища описується наступнимирівняннями трансляційного руху:

$\frac{d^2{h}^{ij}}{d{t}^2}=(\frac{1}{m^i}+\frac{1}{m^j})p^{ij}+\sum _{k\ne j}C(ij,ik)\psi ({\alpha }_{ij,ik})\frac{1}{m^i}{p}^{ik}+\sum _{\ell \ne i}C(ij,j\ell )\psi ({\alpha }_{ij,j\ell })\frac{1}{m^j}{p}^{j\ell }$

Облік сил, що діють між автоматами ij з боку їхніх сусідів.

Тут mⁱ це маса автомата i, p^ij це центральна сила діє між автоматами і та j, C (ij,ik) це особливий коефіцієнт асоційований з перенесенням параметра h з пари ij до ik, ψ (α_ij,ik) це кут між напрямками ij і ik.

Обертальні рухи також можуть бути враховані з точністю обмеженою розміром клітинного автомата. Рівняння обертального руху можуть бути записані таким чином:

$\frac{d^2{\theta }^{ij}}{d{t}^2}=(\frac{q^{ij}}{J^i}+\frac{q^{ji}}{J^j}){\tau }^{ij}+\sum _{k\ne j}S(ij,ik)\frac{q^{ik}}{J^i}{\tau }^{ik}+\sum _{l\ne j}S(ij,jl)\frac{q^{jl}}{J^j}{\tau }^{jl}$

Тут Θ^ij кут відносного повороту (це параметр переключення подібно h^ij трансляційного руху), q^ij(ji) це відстань від центру автомата i (j) до точки контакту з автоматом j (i) (кутовий момент), τ^ij це парне тангенціальне взаємодія, S (ij, ik (jl)) це особливий коефіцієнт асоційований з параметром перенесення Θ від однієї пари до іншої (це схоже на C (ij, ik (jl)) з рівнянь трансляційного руху).

Слід зазначити, що рівняння повністю аналогічні рівнянням руху для багато-часткової середовища.

Визначення деформації пари автоматів

Обертання тіла як цілого не призводить до деформації між автоматами

Зсув пари автоматів Безрозмірний параметр деформації для усуненняi j пари автоматів записується як:

${\epsilon }^{ij}=\frac{h^{ij}}{r_0^{ij}}=\frac{(q^{ij}+q^{ji})-(d^i+d^j)/2}{(d^i+d^j)/2}$

У цьому випадку:

$(\mathrm{\Delta }{\epsilon }^{i(j)}+\mathrm{\Delta }{\epsilon }^{j(i)})\frac{(d^i+d^j)}{2}=V_n^{ij}\mathrm{\Delta }t$

де Δt тимчасової крок, V_n^ij - залежна швидкість. Обертання пари автоматів може бути пораховано аналогічно з зв'язком останнього змішання.

Опис необоротної деформації в методі MCA

Деформація визначається величиною перекриття автоматів

Існує два типи функцій відгуку автоматів

Параметр ε^ij використовується як міра деформації автомата i взаємодіє з автоматом j. Де q^ij - відстань від центру автомата i до точки його контакту з автоматом j; Rⁱ = dⁱ / 2 (dⁱ - розмір автомата i).

Наприклад титановий зразок при циклічному навантаженні (розтяг-стиск). Діаграма деформування показана на наступному малюнку:

схема навантаження	діаграма деформування
	(Червоні точки - експериментальні дані)

Переваги методу MCA

Завдяки рухливості кожного автоматаметод MCA дозволяє безпосередньо враховувати такі події як:

• Перемішування мас
• Ефект проникнення
• Хімічні реакції
• Інтенсивні деформації
• Фазові перетворення
• Накопичення ушкоджень
• Фрагментація і тріщини
• Генерація і розвиток ушкоджень

Використовуючи різні граничні умови різних типів (жорсткі, пружні, в'язко-пружні, т.д.) можна імітувати різні властивості навколишнього середовища, що містить модельовану систему. Можна моделювати різні режими механічного навантаження (розтяг, стиск, зсув, т.д.) за допомогою налаштувань додаткових станів на кордонах.

Література

• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book

Програмне забезпечення

• MCA software package
• Програма для моделювання матеріалів в дискретно континуальному підході «FEM+MCA»: Номер державної реєстрації в ОФАП (Патент): 50208802297 / Смолин А. Ю., Зелепугин С. А., Добрынин С. А.; заявник та організація-розробник Шаблон:Lang-ru. — зарег. 28.11.2008; свідоцтво ОФАП № 11826 від 01.12.2008.

Див. також

• Механіка суцільних середовищ
• Механіка руйнування
• Теорія пружності
• Перідінаміка
• Імітаційне моделювання
• Метод дискретного елемента
• Клітинний автомат
• Метод скінченних елементів
• Метод скінченних різниць