Матрична механіка

Шаблон:Фізична теорія Матрична механіка — математичний формалізм квантової механіки, розроблений Вернером Гайзенберґом, Максом Борном та Паскуалем Йорданом у 1925.

Матрична механіка була першою незалежною та послідовною квантовою теорією. Вона розвиває ідеї теорії Бора, зокрема відповідає на питання, як відбуваються квантові стрибки. Основна ідея матричної механіки полягає в тому, що фізичні величини, які характеризують частинку, описуються матрицями, що змінюються в часі. Такий підхід цілком еквівалентний хвильовій механіці Ервіна Шредінгера та є основою для бра-кет нотації Дірака для хвильової функції.

Математичний апарат

В матричні механіці вважається, що фізична система може перебувати в одному із дискретного набору станів n або в суперпозиції цих станів, тож загалом стан квантовомеханічної системи задається вектором стану: скінченною або нескінченною сукупністю комплексних чисел

$\varphi =\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ ⋮\\ c_i\\ ⋮\end{array}\right)$,

а кожній фізичній величині A, які можна спостерігати на експерименті відповідає певна матриця

$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& \dots & a_{1n}& \dots \\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{n1}& \dots & a_{nn}& \dots \\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\end{array}\right)$

Реальним фізичним величинам відповідають самоспряжені матриці, для яких

$a_{nm}=a_{mn}^{*}$.

Особливе місце посідає матриця енергії H.

Комплексні величини $c_n$ задають амплітуду ймовірності того, що квантовомеханічна система перебуває в стані n.

Діагональні елементи матриці A відповідають значенням фізичної величини, коли вона перебуває в певному стані, а недіагональні елементи описують ймовірність переходів системи із одного стану в інший.

Рівняння руху

Шаблон:Main Матриця, яка описує фізичну величину, задовольняє рівнянню руху

$\frac{dA}{dt}=\frac{\partial A}{\partial t}+\frac{i}{\hslash }[H,A]$,

де часткова похідна задає явну залежність фізичної величини від часу, а квадратні дужки означають комутатор матриць A та H. В цій формулі i — уявна одиниця, $\hslash$ — зведена стала Планка.

Якщо матриця A відома в початковий момент часу, то, розв'язуючи дане рівняння, можна визначити її в будь-який момент часу.

Еквівалентність матричної механіки та хвильової механіки

Як показав Джон фон Нойман, матрична механіка повністю еквівалентна хвильовій механіці Шредінгера. Еквівалентність випливає з того, що в хвильову функцію $\psi$ можна розкласти в ряд, використовуючи певний ортонормований базис функцій ${\phi }_i$:

$\psi =\sum _n{c}_n{\phi }_n$.

Коефіцієнти цього розкладу $c_n$ задаватимуть вектор стану.

Матриця, яка відповідає певній фізичній величині A задається матричними елементами оператора $\hat{A}$

$A_{nm}=\int {\phi }_n^{*}\hat{A}{\phi }_{m}d\tau$.

Зважаючи на еквівалентність формулювань, у сучасній квантовій механіці матричний підхід використовується на рівних із описом за допомогою хвильових функцій.

Див. також

• Бра-кет нотація

Література

• Шаблон:Книга