Майже комплексна структура

Майже комплексна структура — поле комплексних структур на дотичних просторах гладкого многовида. Многовиди, на яких визначена така структура, називаються майже комплексними многовидами. Прикладами таких многовидів є комплексні многовиди, проте натомість існують майже комплексні многовиди, які не є комплексними многовидами. Майже комплексні многовиди є важливими у симплектичній геометрії.

Означення

Майже комплексною структурою на многовиді $M$ називається відображення $J:TM\to TM$ дотичних просторів на многовиді $M$, для якого обмеження $J_p:=J{|}_{T_{p}M}$ на дотичний простір в точці $p\in M$ є лінійним відображенням, що задовольняє умові: $J_p\circ J_p=-\mathrm{i}\mathrm{d}$ і також $J$ є гладким тензорним полем порядку (1, 1).

Властивості

• Наявність на многовиді майже комплексної структури накладає деякі обмеження на його топологію — розмірність простору має бути парним числом, простір має бути орієнтовним, а в компактному випадку всі його непарні класи Штіфеля — Вітні повинні бути рівні нулю.
• Майже комплексна структура $J$ визначає розклад комплексифікації $T^{ℂ}M$ дотичного розшарування в пряму суму комплексно спряжених один одному підрозшарувань $E^{+}$ і $E^{-}$, що складаються з власних векторів відображення $J$ (продовженого лінійно на $T^{ℂ}M$) з власними значеннями $i$ і $-i$ відповідно. Навпаки, розклад $T^{ℂ}M$ в пряму суму двох взаємно спряжених векторних підрозшарувань $S,\overline{S}$ визначає майже комплексну структуру на $M$ для якої $V^{+}=S$.

Інтегровні майже комплексні структури

Будь-який комплексний многовид також є майже комплексним многовидом. В локальних голоморфних координатах $z^{\mu }=x^{\mu }+i{y}^{\mu }$ можна ввести відображення

$J\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}=\frac{\partial }{\partial y^{\mu }}J\frac{\partial }{\partial y^{\mu }}=-\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}$

або в інших позначеннях

$J\frac{\partial }{\partial z^{\mu }}=i\frac{\partial }{\partial z^{\mu }}J\frac{\partial }{\partial {\overline{z}}^{\mu }}=-i\frac{\partial }{\partial {\overline{z}}^{\mu }}.$

Дані відображення є майже комплексною структурою, яка називається індукованою відповідною комплексною структурою многовида.

Майже комплексна структура $J$ називається інтегровною, якщо вона індукується деякою комплексною структурою на $M$, тобто якщо існує атлас карт многовида $M$, відображення переходу для яких є голоморфними і на кожній з яких матриці лінійних відображень $J_p$ має сталі координати $J_{jk}$. Можна вважати, що лінійні перетворення мають канонічний вид поданий вище.

Необхідною і достатньою умовою інтегрованості майже комплексної структури є інволютивність підрозшарування $V^{+}$, тобто замкнутість простору його перетинів щодо дужок Лі (комплексних) векторних полів. Умова інволютивності підрозшарування $V^{+}$ є рівносильною рівності нулю асоційованої з $J$ векторнозначної 2-форми $N_J(X,Y)$, що задається формулою

$N_J(X,Y)=[X,Y]+J([JX,Y]+[X,JY])-[JX,JY],$

де X, Y — векторні поля. Ця форма називається тензором кручень, або тензором Нейєнхейса майже комплексної структури. Твердження про рівносильність інтегровності майже комплексної структури і рівності нулю асоційованого з нею тензора Нейєнхейса називається теоремою Ньюландера — Ніренберга.

Автоморфізми майже комплексних структур

З точки зору теорії G-структур майже комплексна структура є $GL(m,ℂ)$-структурою, де $m=\frac{\dim M}{2}$, а тензором Нейєнхейса $N_J(X,Y)$ — тензор, який визначається першою структурною функцією цієї структури. $GL(m,ℂ)$-структура є структурою еліптичного типу, і тому алгебра Лі інфінітезімальних автоморфізмів майже комплексної структури задовольняє еліптичній системі диференціальних рівнянь 2-го порядку. Зокрема, алгебра Лі інфінітезімальних автоморфізмів майже комплексної структури на компактному многовиді є скінченновимірною, а група G всіх автоморфізмів компактного многовида з майже комплексною структурою є групою Лі. Для некомпактних многовидів це, взагалі кажучи, не так.

Якщо група автоморфізмів G є транзитивною на многовиді М, то майже комплексна структура $J$ однозначно визначається своїм значенням $J_p$ у фіксованій точці $p\in M$, що є інваріантною щодо представлення ізотропії комплексною структурою в дотичному просторі $T_{p}M$.

Приклади

Методи теорії груп Лі дозволяють побудувати широкий клас однорідних просторів, що володіють інваріантною майже комплексною структурою (Як інтегровною, так і неінтегровною) і при тих чи інших припущеннях класифікувати інваріантні майже комплексні структури. Наприклад, будь-яка факторгрупа G/H групи Лі G по підгрупі H, що складається з нерухомих точок автоморфізму непарного порядку групи Лі G, має інваріантну майже комплексну структуру. Прикладом є 6-вимірна сфера $S^6$, що розглядається як однорідний простір $G_2/\mathrm{S}\mathrm{U}(3)$.

Натомість на $S^6$немає жодної комплексної структури, тобто жодна майже комплексна структура там не є інтегровною.

Серед сфер майже комплексні структури мають тільки сфери розмірностей 2 і 6.

Див. також

• Диференційовний многовид
• Комплексний многовид

Література

• Klaus Fritzsche, Hans Grauert: From Holomorphic Functions to Complex Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 213). Springer, New York NY u. a. 2002, ISBN 0-387-95395-7.
• Шаблон:Citation
• da Silva, A.C., Lectures on Symplectic GeometryШаблон:Недоступне посилання, Springer (2001). ISBN 3-540-42195-5.
• Wells, R.O., Differential Analysis on Complex Manifolds, Springer-Verlag, New York (1980). ISBN 0-387-90419-0.