Лінійний інтеграл

Означення лінійного інтеграла

Нехай у просторовій області $\mathit{\text{𝑉}}$ визначено неперервне векторне поле $\overline{a}(\mathit{\text{𝑀}}),\mathit{\text{𝐿}}$ — гладка крива, розташована в $\mathit{\text{𝑉}}$. Лінійним інтегралом поля $\overline{a}$ уздовж лінії $\mathit{\text{𝐿}}$ називається криволінійний інтеграл І роду по довжині дуги від скалярного добутку $\overline{a}(\mathit{\text{𝑀}})$ на одиничний дотичний вектор $\overline{\tau }(\mathit{\text{𝑀}}):W=\underset{L}{\int }\overline{a}(M)\cdot \overline{\tau }(M)ds$.

Як і потік, цей інтеграл може представлятися по-різному. Так, якщо врахувати, що похідна $\overline{\tau }(M)$ на $ds$ дає зміну радіуса-вектора точки $\mathit{\text{𝑀}}$, тобто $\overline{\tau }\cdot ds=d\overline{r}=dx\overline{i}+dy\overline{j}+dz\overline{k}$, то $W=\underset{L}{\int }\overline{a}(M)d\overline{r}$ і $W=\underset{L}{\int }Pdx+Qdy+Rdz$. Отже, лінійний інтеграл може бути виражений і через лінійний інтеграл по координатах.

Фізичний сенс лінійного інтеграла

якщо $\overline{a}(\mathit{\text{𝑀}})$ — силове поле, то $\mathit{\text{𝑊}}$ дорівнює роботі цього поля при переміщенні матеріальної точки вздовж лінії $\mathit{\text{𝐿}}$ см. розділ Потрійні інтеграли.

Основні властивості лінійного інтеграла

1)лінійність $\underset{L}{\int }(C1{\overline{a}}_1+C2{\overline{a}}_2)\overline{\tau }ds=C1\underset{L}{\int }\overline{\tau }{\overline{a}}_{1}ds+C2\underset{L}{\int }\overline{\tau }{\overline{a}}_{2}ds$

2)адитивність

$\underset{\underset{1}{\int }\cup L_2}{\int }\overline{a}\cdot \overline{\tau }ds=\underset{\underset{1}{\int }}{\int }\overline{a}\cdot \overline{\tau }ds+\underset{\underset{2}{\int }}{\int }\overline{a}\cdot \overline{\tau }ds$. 

Направлення на кожній з частин $L_1$ і $L_1$ має бути таким же, як і на всій кривій $L_1\cup L_2$,

3). При зміні напрямку вздовж $\mathit{\text{𝐿}}$ лінійний інтеграл змінює знак.

Це випливає з того, що вектор $\overline{\tau }(\mathit{\text{𝑀}})$ змінюється на $-\overline{\tau }(\mathit{\text{𝑀}})$.

4). Якщо $\mathit{\text{𝐿}}$ — векторна лінія поля і рух відбувається в напрямку поля, то $\mathit{\text{𝑊}}>0$. У цьому випадку вектор $\overline{\tau }(\mathit{\text{𝑀}})$ колінеарний $\overline{a}(\mathit{\text{𝑀}})$ , тому $\overline{a}\cdot \overline{\tau }=\text{пр}\overline{a}\underset{}{\overline{\tau }}=|\overline{a}|>0$.

Обчислення лінійного інтеграла

Як і будь-який криволінійний інтеграл, лінійний інтеграл обчислюється зведенням до певного інтеграла по параметру на кривій, зазвичай обчислюють криволінійний інтеграл $W=\underset{L}{\int }Pdx+Qdy+Rdz$. Якщо крива при параметричному завданні має вигляд

$L:\{\begin{array}{c}x=x(t),\\ y=y(t),\\ z=z(t),\end{array}{t}_0⩽t⩽t_k$ - безперервно диференціюються, то 

$W=\underset{L}{\int }P(x,y,z)\cdot dx+Q(x,y,z)\cdot dt+R(x,y,z)\cdot dz$ $=\underset{\underset{0}{\int }}{\overset{t_k}{\int }}\left[P(x(t),y(t),z(t))\cdot x^{\prime }(t)+Q(x(t),y(t),z(t))\cdot y^{\prime }(t)+R(x(t),y(t),z(t))\cdot z^{\prime }(t)\right]dt$

Напрямок інтегрування визначається напрямом руху по кривій.

Циркуляція векторного поля

Циркуляцією називається лінійний інтеграл векторного поля по замкнутій кривій $\mathit{\text{𝐶}}=\underset{C}{\oint }\overline{a}\cdot d\overline{r}$.

Зазвичай кажуть, що циркуляція характеризує обертальну здатність поля. Мається на увазі наступне. Якщо векторні лінії поля замкнені, то, як ми бачили, циркуляція по ним в напрямку поля позитивна, при цьому в гідродинамічної інтерпретації частки рідини крутяться по цим замкнутим лініях. Нехай тепер лінії струму довільні, уявімо в обсязі $L$ замкнутий контур $C$. Якщо в результаті руху рідини цей контур буде обертатися, то поле володіє обертальної здатністю, абсолютна величина циркуляції визначатиме кутову швидкість обертання {чим більше |$\mathit{\text{𝐶}}$ |, тим вище швидкість}, знак циркуляції покаже, чи збігається напрямок обертання з напрямком інтегрування.