Коприєднане представлення

В математиці, коприєднане представлення ${\mathrm{A}\mathrm{d}}^{\ast }$ групи Лі $G$ — це представлення, спряжене до приєднаного. Якщо $𝔤$ — алгебра Лі групи $G$, відповідна дія $G$ на просторі ${𝔤}^{\ast }$, спряженому до $𝔤$, називається коприєднаною дією. З геометричної точки зору воно являє собою дію лівими зсувами на просторі правоінваріантних 1-форм на $G$.

Важливість коприєднаного представлення була підкреслена в роботах А. А. Кирилова, який показав, що ключову роль в теорії представлень нільпотентних груп Лі $G$ відіграє поняття орбіти коприєднаного представлення (К-орбіти). У методі орбіт Кирилова представлення $G$ будуються геометрично, відштовхуючись від К-орбіт. У певному сенсі останні замінюють собою класи спряженості $G$, які можуть бути влаштовані складним чином, у той час як працювати з орбітами порівняно просто.

Означення

Нехай $G$ — група Лі й $𝔤$ — її алгебра Лі, $\mathrm{A}\mathrm{d}:G\to \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(𝔤)$ — приєднане представлення $G$. Тоді коприєднане представлення ${\mathrm{A}\mathrm{d}}^{\ast }:G\to \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}({𝔤}^{\ast })$ означається як ${\mathrm{A}\mathrm{d}}_g^{\ast }:={\left({\mathrm{A}\mathrm{d}}_{g^{-1}}\right)}^{\ast }$. Точніше,

$⟨{\mathrm{A}\mathrm{d}}_g^{\ast }f,X⟩=⟨f,{\mathrm{A}\mathrm{d}}_{g^{-1}}X⟩,g\in G,X\in 𝔤,f\in {𝔤}^{\ast },$

де $⟨f,X⟩$ — значення лінійного функціоналу $f$ на векторі $X$.

Нехай ${\mathrm{a}\mathrm{d}}^{\ast }$ — представлення алгебри Лі $𝔤$ в ${𝔤}^{\ast }$, індуковане коприєднаним представленням групи Лі $G$. Тоді для $X\in 𝔤$ ${\mathrm{a}\mathrm{d}}_X^{\ast }=-{\left({\mathrm{a}\mathrm{d}}_X\right)}^{\ast }$, де $\mathrm{a}\mathrm{d}$ — приєднане представлення алгебри Лі $𝔤$. Цей висновок може бути зроблено виходячи з інфінітезимальної форми наведеного вище означального рівняння для ${\mathrm{A}\mathrm{d}}^{\ast }$:

$⟨{\mathrm{a}\mathrm{d}}_X^{\ast }f,Y⟩:={\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}⟨{\mathrm{A}\mathrm{d}}_{\exp (tX)}^{\ast }f,Y⟩|}_{t=0}={\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}⟨f,{\mathrm{A}\mathrm{d}}_{\exp (-tX)}Y⟩|}_{t=0}=⟨f,-{\mathrm{a}\mathrm{d}}_{X}Y⟩,X,Y\in 𝔤,f\in {𝔤}^{\ast }$,

де $\exp$ — експоненційне відображення із $𝔤$ в $G$.

Література

• Шаблон:Книга
• Kirillov, A. A., Lectures on the Orbit Method, Шаблон:Iw, Vol. 64, American Mathematical Society, Шаблон:ISBN, Шаблон:ISBN