Квантовий LC-контур

Шаблон:Оригінальне дослідження Шаблон:Переписати Квантовий LC-контур (Quantum LC circuit) - аналітичне продовження класичного $LC-$ осцилятора (коливального контуру) на область квантової механіки. Із класичної електродонаміки відоме диференційне рівняння для реактивного коливального контуру у вигляді:

$L\frac{d^{2}q}{d{t}^2}+R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=0$

де $L$ - індуктивність контуру, $R$- активний опір системи (за рахунок з'єднувальних провідників) та $C$- ємність контуру.

За своєю математичною формою і фізичним змістом це класичне диференційне рівняння еквівалентне диференційному рівнянню вільних затухаючих коливань кульки, підвішеної на пружині:

$m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+r\frac{dx}{dt}+kx=0$

де $m$- маса кульки, $r$ механічний опір коливанням маятника та $k$- коефіцієнт пружності.

Таким чином, в класичній фізиці ми маємо взаємну відповідність між механічними та електродинамічними фізичними величинами:

$L\leftrightarrow m$ (індуктивність <--> маса)

$C\leftrightarrow 1/k$ (ємність <--> 1/пружність)

$x\leftrightarrow q$ (зміщення <--> заряд).

Квантові оператори електромагнітних величин

Оператор імпульсу в зарядовому просторі можна подати у наступному вигляді:

${\hat{p}}_L=-i\hslash \frac{d}{dq},{\hat{p}}_L^{*}=i\hslash \frac{d}{dq}$

де $\hslash -$ приведена стала Планка, а ${\hat{p}}_L^{*}$- комплексно- спряжений оператор імпульсу. Оператор Гамільтона в зарядовому просторі можна подати у вигляді:

${\hat{H}}_L=-\frac{{\hslash }^2}{2L}\frac{d^2}{d{q}^2}+\frac{L{\omega }_0^2}{2}{\hat{q}}^2$

де ${\hat{q}}^{*}-$ комплексно- спряжений оператор заряду, а

${\omega }_0=\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}}-$ резонансна частота коливного контуру. Єдина відмінність зарядового простору від традиційного 3Д- простору в тому, що від одновимірний. Правда в ньому негативні координати необхідно сприймати цілком серйозно, адже вони пов'язані із зарядами!

Рівняння Шредінгера для електромагнітного осцилятора

Використовуючи оператори зарядового простору, рівняння Шредінгера для електромагнітного осцилятора можна записати у вигляді:

$-\frac{{\hslash }^2}{2L}\frac{d^2\mathrm{\Psi }}{d{q}^2}+\frac{L{\omega }_0^2}{2}{q}^2\mathrm{\Psi }=W\mathrm{\Psi }$

Для розв'язку цього рівняння необхідно ввести безрозмірні змінні для зарядів та енергії:

$\xi =q\sqrt{\frac{L{\omega }_0}{\hslash }}$

$\lambda =\frac{2W}{\hslash {\omega }_0}$

де $q_0=\sqrt{\frac{\hslash }{L{\omega }_0}}$- масштабний заряд.

Тоді рівняння Шредінгера в безрозмірних змінних приймає форму рівняння Чебишева- Ерміта:

$(\frac{d^2}{d{\xi }^2}+\lambda -{\xi }^2)\mathrm{\Psi }=0$

Власні значення гамільтоніана тут будуть:

$W_n=\hslash {\omega }_0(n+1/2).$

де при $n=0$ маємо "нульові коливання":

$W_0=\hslash {\omega }_0/2.$

В загальному випадку масштабний заряд можна записати у вигляді:

$q_0=\sqrt{\frac{\hslash }{L{\omega }_0}}=\frac{q}{\sqrt{4\pi \alpha }}$

де $\alpha$- стала тонкої структури. Очевидно, що масштабний заряд суттєво відрізняється від заряду електрона. Більше того, його квантування буде:

$q_{0n}=q_0\sqrt{2n+1},n=0,1,2,...$.

Основні співвідношення для реактивного квантового контуру

Очевидно, що величини квантових індуктивностей та ємностей взаємозв'язані. В квантовому випадку так само, як і в класичному, ми маємо такі співвідношення для резонансної частоти та хвильового опору:

${\omega }_q=\frac{1}{\sqrt{LC}}$

${\rho }_q=\sqrt{\frac{L}{C}}$

Ця система рівнянь дає можливість знаходження реактивних параметрів:

$C=\frac{1}{{\omega }_q{\rho }_q}$

$L=\frac{{\rho }_q}{{\omega }_q}$

Проте класичний хвильовий опір в класичній електродинаміці рівний величині:

${\rho }_q=\sqrt{\frac{L}{C}}=\sqrt{\frac{{\mu }_0\mu }{{ϵ}_0ϵ}}$.

А у квантовому випадку із врахуванням співвідношень:

$\mu =ϵ=1$

ми будемо мати хвильовий опір вакууму:

${\rho }_q=\sqrt{\frac{{\mu }_0}{{ϵ}_0}}={\rho }_0.$.

На резонансну частоту $LC-$ контуру також накладається умова:

${\omega }_0={\omega }_q$.

В загальному випадку повна енергія контуру є постійна величина:

$W_t=\frac{q^2}{2C}+\frac{L{I}^2}{2}=const.$

Прирівнюючи цю енергію нульовим коливанням, знаходимо максимальний струм в контурі:

$I_0^2=\frac{\hslash {\rho }_0}{L^2}$

А у випадку нульового струму в контурі, отримаємо максимальний заряд на ємності:

$Q_0^2=\frac{\hslash }{{\rho }_0}$

Між цими величинами справедливе співвідношення:

$I_0{Q}_0={\hslash }^2/L^2$.

Триєдина постановка задачі про квантовий рух частки маси m та заряду q

Так само, як і рівняння Клейна- Гордона задача про квантовий зарядовий осцилятор самостійного значення не має. Будь-який квантовий рух частки з відмінними від нуля масою та зарядом в рамках квантової фізики повинен розглядатися за допомогою самопогодженого розв'язку трьох квантовомеханічних рівнянь. Очевидно, що першим рівнянням повинно бути рівняння Шредінгера, що задає енергетичний і просторовий масштаби проблеми (аналог рівняння Н'ютона для руху частки). Другим повинно бути рівняння Клейна- Гордона що враховує релятивістську масу спокою частки, котра подається у вигляді стоячої хвилі матерії, на відстані, що визначається рівнянням Шредінгера. Тут також задається товщина стоячої хвилі матерії, котра рівна комптонівській довжині хвилі частки. І тільки третім рівнянням повинно бути рівняння зарядового осцилятора, в рамках якого використовуються реактивні параметри (ємність та індуктивність) стоячої хвилі матерії, товщина якої рівна комптонівській довжині частки.

Таким чином, рівняння Шредінгера задає основні параметри системи, зв'язані з рухом частки. Проте тільки рівняння Клейна- Гордона описує конкретну розмазку маси самопогоджену з рівнянням Шредінгера. А рівняння зарядових осциляцій описує розмазку заряду в тому ж об'ємі, що задає рівняння Клейна- Гордона.

Дивись також

• Гармонічний осцилятор
• Квантовий осцилятор

Джерела

• Quantum Lc-circuit satisfying the Schrodinger-Fisher-Kolmogorov equation and quantization of Dc–Pumped Josephson parametric amplifier
• Quantum Optical Communication

Література

• Яворский Б.М, Детлаф А.А., Милковская Л.Б. Курс физики. Т.2. Электричество и магнетизм, Изд. 3-е испр., М.:Высшая школа, 1966.-412с.
• Кузьмичев В.Е. Законы и формулы физики.- Киев: Наук. думка, 1989.- 864с.
• Yakymakha O.L., Kalnibolotskij Y.M., Solid- State Electronics, vol.37, No.10,1994.,pp.1739-1751 pdf
• Yakymakha O.L., Kalnibolotskij Y.M., Solid- State Electronics, vol.38, No.3,1995.,pp.661-671 pdf
• Yakymakha O.L., High Temperature Quantum Galvanomagnetic Effects in the Two- Dimensional Inversion Layers of MOSFET's, p.91. Vyscha Shkola, Kyiv (1989).
• Michel H.Devoret. Quantum Fluctuation in Electric Circuit.PDF