Квантовий вентиль

Квантовий вентиль (квантовий логічний елемент) — це базовий елемент квантового комп'ютера, що перетворить вхідні стани кубітів на вихідні за певним законом. Відрізняється від звичайних логічних вентилів тим, що працює з кубітами, а отже підпорядковується квантовій логіці. Квантові вентилі на відміну від багатьох класичних завжди можуть бути оберненими.

Так як кубіт можна зобразити у вигляді вектора у двовимірному просторі, то дію вентиля можливо описати унітарною матрицею, на яку множиться відповідний вектор стану вхідного кубіту. Однокубітні вентилі описуються матрицями розміру 2 × 2, двохкубітні — 4 × 4, а n-кубітні — 2ⁿ × 2ⁿ.

Приклади квантових вентилів

Найпростіші однокубітні вентилі:

• Тотожне перетворення:${\sigma }_0=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$

• Заперечення:${\sigma }_1=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$

• Фазове зрушення:${\sigma }_2=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$

• Перетворення Адамара: $H=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]$

 Також можливі вентилі, що мають два входи (і два виходи, так як кількість входів і виходів у квантових вентилів повинно збігатися в силу вимоги унітарності):

• Контрольоване U (C-U). Суть контрольованого U полягає в тому, що на перший вхід подається кубіт керування, а на другий — керований. Якщо кубіт керування дорівнює одиниці, над керованим проводиться операція U, а якщо нулю — тотожне перетворення (кубіт подається на вихід без змін). Якщо матриця U має вигляд
• $U=\left[\begin{array}{cc}{x}_{00}& x_{01}\\ x_{10}& x_{11}\end{array}\right]$

 тоді матриця перетворення CU виглядає так:

$\mathrm{C}(U)=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& x_{00}& x_{01}\\ 0& 0& x_{10}& x_{11}\end{array}\right]$

• Контрольоване заперечення (C-NOT). В цьому випадку $U={\sigma }_1$ і матриця перетворення має вигляд:

$CNOT=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$

Важливими 3-х кубітними вентилями є:

• вентиль Тоффолі (Шаблон:Lang-en, часто CCNOT) — є універсальним. Може бути реалізований на C-NOT і однокубітних вентилях. Схожий за алгоритмом роботи на CNOT, але звертає значення останнього біта тільки якщо два перших входу рівні одиниці. В іншому випадку всі входи подаються на вихід незмінними.

Таблиця істинності	Матрична форма
Вхід Вихід  0   0   0   0   0   0  0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0	$\left[\begin{array}{cccccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$

• вентиль Фредкіна (Шаблон:Lang-en, часто CSWAP) — також універсальний. Якщо перший вхід встановлений, переставляє значення кубітів зі входів 2 і 3. Інакше всі три кубіти залишаються без змін.

Таблиця істинності	Матрична форма
Вхід Вихід C I1 I2 C O1 O2  0   0   0   0   0   0  0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1	$\left[\begin{array}{cccccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

Універсальні квантові вентилі

Набір квантових вентилів називають універсальним, якщо будь-яке унітарне перетворення можна наблизити з будь-якою заданою точністю скінченною послідовністю вентилів з цього набору. Іншими словами, універсальні квантові вентилі є генераторами групи унітарних матриць. Можна довести, що набір, що складається з вентиля C-NOT і всіх однокубітних вентилів, є універсальним. Можливі й інші універсальні набори.

Реалістична реалізація NAND квантового вентиля двох контрольованих обертів — Приклад

Шаблон:Сирий переклад NAND може бути побудований наприклад з двома електронними кругами, що взаємодіють простішим обміном й обидва покладені у магнетичне поле з часом, який залежить від напряму використаному для цієї операції. Гамільтоніан отриманий завдяки

$H=-{\mathit{\sigma }}_1\cdot 𝐁-{\mathit{\sigma }}_2\cdot 𝐁-{\mathit{\sigma }}_1\cdot {\mathit{\sigma }}_2$,

де ${\mathit{\sigma }}_1$, ${\mathit{\sigma }}_2$ — вектори оператори електронних обертів, які складаються з трьох Паули матриць. Рівняння Блоха без загасання виходить з рівняння Шредінгера є:

$\dot{{\mathit{\sigma }}_1}={\mathit{\sigma }}_1\times 𝐁+{\mathit{\sigma }}_1\times {\mathit{\sigma }}_2$

$\dot{{\mathit{\sigma }}_2}={\mathit{\sigma }}_2\times 𝐁+{\mathit{\sigma }}_2\times {\mathit{\sigma }}_1$

Ці рівняння можуть бути вирішені в адіабатичного наступне наближення, коли спінові вектори нескінченно ларморовської прецесії відслідковують вектор магнітного поля тільки в припущенні, що $|𝐁|=|{\mathit{\sigma }}_{𝒊}|$ .Залежно від того, чи є вектори і паралельні або анти-паралельно магнітному полю або анти-паралельно один одному, вони або обидва адіабатично впливають на магнітне поле і змінюють напрямок на 180 ° або ліва сторона одного з рівнянь тотожно перетворюється в нуль і тільки напрямок одного з спінів зміни, які слід, адіабатично суперпозицію поля, а другий доданий заморожений спін, виступає, як ефективне поле. Функція зміни магнітного поля в часі, очевидно, безумовна і не залежить від початкового стану обох спінів, що гарантує належну роботу затвору. Інтуїтивно ця операція може бути зрозумілою, що магнітне поле вирівнює антиферомагнітного упорядкування двох спінів в привілейованому феромагнітним при русі заднім ходом існуюче феромагнітне впорядкування. Після часу адіабатичній зміні напрямку поля B на 180 градусів у нас є, тому

$e^{-i\int H(t)d{t}_{op}}\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ -1\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{c}0\\ -1\end{array}\right]$

$e^{-i\int H(t)d{t}_{op}}\left[\begin{array}{c}0\\ -1\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{c}0\\ -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$

$e^{-i\int H(t)d{t}_{op}}\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{c}0\\ -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$

$e^{-i\int H(t)d{t}_{op}}\left[\begin{array}{c}0\\ -1\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$

При тлумаченні спін вгору, як логічний 1, вниз, як 0 і дубльований спін кінцевого стану в результаті ми отримуємо ворота зв'язку заперечення або NAND.