Квадратний корінь з трьох

Висота рівностороннього трикутника з сторонами 2 рівна квадратному кореню з 3.

Квадратний корінь з трьох — додатне дійсне число, яке в другій степені дорівнює числу 3. Позначається як Шаблон:Sqrt або 3^1/2. Квадратний корінь з трьох є ірраціональним числом. Його також називають константою Феодора на честь давньогрецького математика Феодора Кіренського, який довів ірраціональність даного числа.

Станом на грудень 2013, його значення обчислили з точністю більше ніж десять мільйонів десяткових знаків. Перші 65 десяткових знаків Шаблон:Sqrt:

1.73205 08075 68877 29352 74463 41505 87236 69428 05253 81038 06280 55806

Дріб Шаблон:Sfrac(Шаблон:Val...) можна використати як наближення. Незважаючи на те що знаменник 56 є меншим за 100, значення виразу відрізняється від Шаблон:Sqrt менше ніж на Шаблон:Sfrac (близько Шаблон:Val). Округлене значення 1.732 точне в межах 0.01 % від справжнього значення.

Архімед знайшов проміжок для його значення: Шаблон:Math; нижня границя точна до Шаблон:Sfrac (шість десяткових знаків), верхня до Шаблон:Sfrac (чотири десяткових знаки).

Способи обчислення

Ланцюговим дробом

Шаблон:Sqrt можна виразити ланцюговим дробом Шаблон:Nowrap Шаблон:OEIS.

Отже якщо:

${\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 3\end{array}\right]}^n=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]$

то коли $n\to \mathrm{\infty }$ :

$\sqrt{3}=2\cdot \frac{a_{22}}{a_{12}}-1$

Доведення ірраціональності

Методом Ферма

Це доведення ірраціональності числа Шаблон:Sqrt використовує Шаблон:Не перекладено Ферма:

Припустимо що Шаблон:Sqrt є раціональним числом, і виразимо його в формі повністю спрощеного дробу форми Шаблон:Math, де Шаблон:Math та Шаблон:Math - натуральні числа.

Помножимо чисельник та знаменник на $(\sqrt{3}-q)$ і отримаємо рівнозначний вираз:

$\frac{m(\sqrt{3}-q)}{n(\sqrt{3}-q)}$

де Шаблон:Mvar — найбільше ціле число менше ніж Шаблон:Sqrt. Зверніть увагу, що чисельник та знаменник множаться на число менше 1.

Розкриємо дужки:

$\frac{m\sqrt{3}-mq}{n\sqrt{3}-nq}$

З припущення отримаємо, що Шаблон:Math можна замінити на Шаблон:Math:

$\frac{n{\sqrt{3}}^2-mq}{n\sqrt{3}-nq}$

Далі Шаблон:Sqrt замінимо на Шаблон:Math в знаменнику:

$\frac{n{\sqrt{3}}^2-mq}{n\frac{m}{n}-nq}$

Квадрат числа Шаблон:Sqrt можна замінити на 3, а Шаблон:Math Шаблон:Math Шаблон:Math спростити до Шаблон:Math:

$\frac{3n-mq}{m-nq}$

Отже Шаблон:Sqrt можна виразити меншим дробом ніж Шаблон:Math як Шаблон:Math(оскільки в першому кроці ми зменшили величину чисельника та знаменника, і наступні кроки не змінили їх) , що заперечує припущення про те, що Шаблон:Math складався з найменших можливих чисел.

Інші способи

В альтернативному способі доведення, припустимо, що Шаблон:Math  де  Шаблон:Math повністю скорочений дріб:

Помножимо на Шаблон:Math обидві частини, тоді піднесемо до квадрату та отримаємо:

$3n^2=m^2.$

Оскільки ліву частину можна поділити на 3, те саме можна сказати і про праву: Шаблон:Math повинне ділитись на 3. Тоді, Шаблон:Math можна виразити як Шаблон:Math:

$3n^2=(3k{)}^2=9k^2$

Поділивши обидві частини на 3 отримаємо:

$n^2=3k^2$

Оскільки праву частину можна поділити на 3, те саме можна сказати про ліву, а отже і про число Шаблон:Math. Оскільки, Шаблон:Math та Шаблон:Math діляться на три, в них є спільний дільник, тому Шаблон:Math не є повністю скороченим дробом, що заперечує початкове припущення.

Див. також

• Квадратний корінь з двох

Джерела

• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book