Категорія 𝒪

Категорія $𝒪$ — математичний об'єкт у теорії представлень напівпростих алгебр Лі. Це категорія, чиї об'єкти — визначені представлення напівростої алгебри Лі, а морфізми — гомоморфізми представлень.

Вступ

Нехай $𝔤$ — (зазвичай комплексна) напівпроста алгебра Лі з підалгеброю Картана $𝔥$, а $\mathrm{\Phi }$ — система коренів і ${\mathrm{\Phi }}^{+}$ — система додатних коренів. Позначимо ${𝔤}_{\alpha }$ простір коренів, що відповідає кореню $\alpha \in \mathrm{\Phi }$ і $𝔫:={\oplus }_{\alpha \in {\mathrm{\Phi }}^{+}}{𝔤}_{\alpha }$ — нільпотентна підалгебра.

Якщо $M$ — $𝔤$-модуль і $\lambda \in {𝔥}^{*}$, то $M_{\lambda }$ є простором ваг

$M_{\lambda }=\{v\in M;\mathrm{\forall }h\in 𝔥h\cdot v=\lambda (h)v\}.$

Означення катеорії $𝒪$

Об'єкти категорії $𝒪$ — $𝔤$-модулі $M$, такі що

1. $M$ — скінченнопороджений
2. $M={\oplus }_{\lambda \in {𝔥}^{*}}{M}_{\lambda }$
3. $M$ локально $𝔫$-скінченний, тобто, для кожного $v\in M$, $𝔫$-модуль породжений $v$ — скінченновимірний.

Морфізми цієї категорії — $𝔤$-гомоморфізми цих модулів.

Література

• Шаблон:Citation