Задача Коші для рівняння теплопровідності

Класичною задачею Коші для рівняння теплопровідності називається задача знаходження функції $u=u(x,t)$, визначеної в області $\{x\in ℝ,t\ge 0\}$, яка є розв’язком рівняння теплопровідності $\mathrm{\Delta }u-\frac{1}{a^2}\frac{\partial u}{\partial t}=-\frac{f(x,t)}{k},x\in {ℝ}^n,t\ge 0$ і задовільняє початкові умови: $u(x,0)=\varphi (x),x\in {ℝ}^n,t>0$,

$\varphi ,f$-задані функції

Дана задача описує процес поширення тепла в необмеженій області ($u$-температура), якщо задана температура всіх точок при $t=0$

Класичним розв'язком задачі Коші для рівняння теплопровідності називається функція $u(x,t)\in C_{x,t}^{2,1}({ℝ}^n\times (0;\mathrm{\infty }))\cap C({ℝ}^n\times [0;\mathrm{\infty }))$, яка є розв'язком рівняння теплопровідності в області $\{x\in {ℝ}^n,t>0\}$ ,і задовільняє початкові умови на множині $\{x\in {ℝ}^n,t=0\}$

Необхідною умовою існування розв'язку є $\varphi (x)\in C({ℝ}^n),f(x,t)\in C({ℝ}^n\times (0;\mathrm{\infty }))$

Єдиність розв'язку задачі Коші для рівняння теплопровідності: Якщо в класі неперервних і обмежених функцій існує розв'язок задачі Коші для рівняння теплопровідності, то він єдиний.

Фундаментальний розв'язок рівняння теплопровідності

Розглянемо однорідне рівняння теплопровідності $\mathrm{\Delta }u-\frac{1}{a^2}\frac{\partial u}{\partial t}=0,x\in {ℝ}^n,t\ge 0$

Якщо шукати розв'язок цього рівняння методом відокремлення змінних $u=X(x)T(t)$ то $e^{-a^2{\lambda }^{2}t}\cos \lambda x$ буде частинним розв'язком(${\lambda }^2=const$)

Тоді розв'язком буде $I(x,t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-a^2{\lambda }^{2}t}\cos \lambda xd\lambda$, якщо він збігається і його можна почленно диференціювати двічі по $x$ і один раз по $t$.

Диференціювання по $x$:

$\frac{\partial I(x,t)}{\partial x}=-\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-a^2{\lambda }^{2}t}\lambda \sin \lambda xd\lambda =\frac{1}{2a^{2}t}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\sin \lambda xd{e}^{-a^2{\lambda }^{2}t}=\frac{1}{2a^{2}t}[{\sin \lambda x{e}^{-a^2{\lambda }^{2}t}|}_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}-x\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-a^2{\lambda }^{2}t}\cos \lambda xd\lambda ]=\frac{x}{2a^{2}t}I(x,t)$

$\frac{\partial I(x,t)}{\partial x}=\frac{x}{2a^{2}t}I(x,t)$

$I(x,t)=c{e}^{-\frac{x^2}{4a^{2}t}}$

$I(0,t)=c={\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-a^2{\lambda }^{2}t}\cos \lambda xd\lambda |}_{x=0}=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-a^2{\lambda }^{2}t}=\left|\begin{array}{c}a\lambda \sqrt{t}=\xi \\ a\sqrt{t}d\lambda =d\xi \\ d\lambda =\frac{d\xi }{a\sqrt{t}}\end{array}\right|=\frac{1}{a\sqrt{t}}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-{\xi }^2}d\xi =\frac{\sqrt{\pi }}{a\sqrt{t}}\Rightarrow I(x,t)=\frac{\sqrt{\pi }}{a\sqrt{t}}{e}^{-\frac{x^2}{4a^{2}t}}$

Внаслідок однорідності рівняння,якщо розв'язок поділити на константу то цей вираз буде теж розв'язком.

$\epsilon (x,x^{\prime },t)=\frac{1}{2\pi }I(x-x^{\prime },t)=\frac{1}{2a\sqrt{\pi t}}{e}^{-\frac{(x-x^{\prime }{)}^2}{4a^{2}t}}$ -фундаментальний розв'язок рівняння теплопровідності при $n=1$.

Узагальнення фундаментального розв'язку рівняння теплопровідності для довального $n$:

$\epsilon (x,x^{\prime },t)=\frac{1}{(2a\sqrt{\pi t}{)}^n}{e}^{-\frac{|x-x^{\prime }{|}^2}{4a^{2}t}},|x-x^{\prime }{|}^2=\sum _{i=1}^n(x_i-x_{i^{\prime }}{)}^2,x^{\prime }$-параметр.

Властивості фундаментального розв'язку рівняння теплопровідності

1. Фундаментальний розв'язок є не нескінченно диференційованою по $x$ і по $t$ функцією за винятком $x=x^{\prime },t=0$.
2. Функція $\epsilon$, як функція від $x$ і $t$ є розв'язком однорідного рівняння теплопровідності
3. $\underset{{ℝ}^n}{\int }\epsilon (x,x^{\prime },t)d{x}^{\prime }=1,t>0$
4. Нехай $f(x)$- неперервна і обмежена функція у просторі $\{x\in ℝ,t>0\}$ .Тоді має місце гранична рівність:

$\underset{t\to 0+}{\lim }\underset{{ℝ}^n}{\int }f(x^{\prime })\epsilon (x,x^{\prime },t)d{x}^{\prime }=f(x)$

Властивості 3,4 вказують на те, що функція $\epsilon$ є $\delta$-функцією, тобто $\epsilon (x,x^{\prime },t)\to \delta (x-x^{\prime }),t\to 0+$.

Фізичний зміст фундаментального розв'язку

Нехай в точці $x^{\prime }\in {ℝ}^n$ в момент часу $t=0$, до якого температура точок області була нульовою, миттєво виділяється одинична кількість тепла. За рахунок цього тепла температура точок простору підвищується.

Позначення:

  $u(x,t)$ -температура $t>0$;

  $dx$ -елемент об'єму;

  $\rho$ - густина;

  $c$- теплоємність.

Для підвищення температури об'єму $dx$ на величину $u(x,t)$ необхідно витратити таку кількість тепла $dQ=\rho cu(x,t)dx$. За законом збереження тепла $\underset{{ℝ}^n}{\int }\rho cu(x,t)dx=1$.

Підінтегральна функція $u(x,t)$ , а значить і функція $\rho cu(x,t)$, є розв'язком однорідного рівняння теплопровідності.

Такі властивості має і фундаментальний розв'язок, отже, можна покласти $\rho cu(x,t)=\epsilon (x,x^{\prime },t)$

      $u(x,t)=\frac{1}{\rho c}\epsilon (x,x^{\prime },t)$

Таким чином, фундаментальний розв'язок з точністю до множника $\frac{1}{\rho c}$ являє собою температуру в точці $x$ в момент часу $t=0$, при умові, що температура в цьому просторі до цього моменту дорівнювала $0$.

Функцію $\epsilon$ ще називають функцією одиничного миттєвого джерела. Графіком розв'язку цієї функції від $x$ для фіксовного $x^{\prime }$ і моментів $0<t_1<t_2<\cdots$ є криві, що називаються кривими Гауса. Площа під кожною кривою рівна $1$.

Розв'язок задачі Коші для рівняння теплопровідності

Розв'язок задачі Коші має вигляд $u(x,t)=u_1(x,t)+u_2(x,t)$,

де $u_1(x,t)$ -розв'язок задачі Коші:

$\mathrm{\Delta }{u}_1-\frac{1}{a^2}\frac{\partial u_1}{\partial t}=0,x\in {ℝ}^n,t>0$,

${u_1|}_{t=0}=\varphi (x),x\in {ℝ}^n$;

$u_2(x,t)$ -розв'язок задачі Коші:

$\mathrm{\Delta }{u}_2-\frac{1}{a^2}\frac{\partial u_2}{\partial t}=-\frac{f}{k},x\in {ℝ}^n,t>0$,

${u_2|}_{t=0}=0,x\in {ℝ}^n$.

$u_1(x,t)=\underset{{ℝ}^n}{\int }\varphi (x^{\prime })\epsilon (x,x^{\prime },t)d{x}^{\prime }$

$u_2(x,t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\eta (x,t,t_0)d{t}_0$,

де функція $\eta$ є розв'язком задачі:

$\mathrm{\Delta }\eta -\frac{1}{a^2}\frac{\partial \eta }{\partial t}=0,x\in {ℝ}^n,t>0$,

${\eta (x,t,t_0)|}_{t=t_0}=\frac{a^2}{k}f(x,t_0),x\in {ℝ}^n$

$\eta (x,t,t_0)=\underset{{ℝ}^n}{\int }\frac{a^2}{k}f(x^{\prime },t_0)\epsilon (x,x^{\prime },t-t_0)d{x}^{\prime }$

Таким чином, розв'язок задачі Коші для рівняння теплопровідності має вигляд:

$u(x,t)=\frac{1}{(2a\sqrt{\pi t}{)}^n}\underset{{ℝ}^n}{\int }\varphi (x^{\prime })e^{-\frac{|x-x^{\prime }{|}^2}{4a^{2}t}}d{x}^{\prime }+$

$+\underset{0}{\overset{t}{\int }}\underset{{ℝ}^n}{\int }\frac{1}{(2a\sqrt{\pi (t-t_0)}{)}^n}\frac{a^2}{k}f(x^{\prime },t_0)e^{-\frac{|x-x^{\prime }{|}^2}{4a^2(t-t_0)}}d{x}^{\prime }d{t}_0$ - формула Пуассона