Еліптичний розподіл

Еліптичний розподіл — це будь-який член широкого сімейства розподілів ймовірностей, що узагальнює багатовимірний нормальний розподіл. Інтуїтивно зрозуміло, у спрощеному дво- і тривимірному випадку спільний розподіл утворює еліпс та еліпсоїд відповідно на графіках рівної щільності.

У статистиці нормальний розподіл використовується в «класичному» багатовимірному аналізі, тоді як еліптичні розподіли використовуються в узагальненому багатовимірному аналізі для вивчення симетричних Шаблон:Не перекладено, як Шаблон:Не перекладено, або легкими (у порівнянні з нормальним розподілом). Деякі статистичні методи, спочатку призначені для вивчення нормального розподілу, мають хороші показники для загальних еліптичних розподілів (зі скінченною дисперсією), особливо для сферичних розподілів (які визначені нижче). Еліптичні розподіли також використовуються в робастній статистиці для оцінки запропонованих багатовимірних статистичних процедур.

Визначення

Еліптичні розподіли визначаються з точки зору характеристичних функцій у теорії ймовірностей. Випадковий вектор $X$ на евклідовому просторі має еліптичний розподіл якщо його характеристична функція $\varphi$ задовольняє наступному функціональному рівнянню (для кожного стовпця-вектора $t$)

${\varphi }_{X-\mu }(t)=\psi (t^{\prime }\mathrm{\Sigma }t)$

для деякого коефіцієнту зсуву $\mu$, деякої Шаблон:Не перекладено $\mathrm{\Sigma }$ і деякої скалярної функції $\psi$. Визначення еліптичних розподілів для реальних випадкових векторів було розширено для розміщення випадкових векторів в евклідових просторах над полями комплексних чисел, що полегшує застосування в аналізі часових рядів. Доступні обчислювальні методи для генерування псевдовипадкових векторів з еліптичними розподілами, для використання, наприклад, у методі Монте-Карло у комп'ютерному моделюванні.

Деякі еліптичні розподіли мають альтернативне визначення з точки зору їх функції щільності. Еліптичний розподіл з функцією щільності f має вигляд:

$f(x)=k\cdot g((x-\mu {)}^{\prime }{\mathrm{\Sigma }}^{-1}(x-\mu ))$

де $k$ — Шаблон:Не перекладено, $x$ є $n$-вимірною випадковою величиною з медіанним вектором $\mu$ (який також є вектором середніх значень, якщо останній існує), а $\mathrm{\Sigma }$ є позитивно визначеною матрицею, яка є пропорційною до коваріаційної матриці, якщо остання існує.

Приклади

Приклади включають такі багатовимірні розподіли ймовірностей:

• Багатовимірний нормальний розподіл
• Багатовимірний t-розподіл
• Симетричний Шаблон:Не перекладено
• Симетричний Шаблон:Не перекладено
• Багатовимірний логістичний розподіл
• Багатовимірний симетричний загальний Шаблон:Не перекладено

Властивості

У двовимірному випадку, якщо щільність існує, кожен локус рівної щільності (множина пар x₁, x₂, які надають певне значення $f(x)$) є еліпсом або об'єднанням еліпсів (звідси і назва еліптичний розподіл). Більш загально, для довільного n, локуси ізо-щільності є об'єднаннями еліпсоїдів. Усі ці еліпсоїди або еліпси мають спільний центр μ і є масштабованими копіями (гомотетами) один одного.

Багатовимірний нормальний розподіл — це особливий випадок, коли $g(z)=e^{-z/2}$. Хоча багатовимірний нормальний розподіл необмежений (кожен елемент $x$ може приймати довільно великі позитивні або негативні значення з ненульовою ймовірністю, оскільки $e^{-z/2}>0$ для всіх невід’ємних $z$), загалом еліптичні розподіли можуть бути обмеженими або необмеженими — такий розподіл обмежений, якщо $g(z)=0$ для всіх $z$ більше деякого значення.

Існують еліптичні розподіли, у яких не визначене середнє, наприклад розподіл Коші (навіть у одновимірному випадку). Оскільки змінна x входить у функцію щільності квадратично, усі еліптичні розподіли є Шаблон:Не перекладено відносно $\mu .$

Якщо дві підмножини спільного еліптичного випадкового вектора є некорельованими, то, якщо їх середні існують, вони є Шаблон:Не перекладено одне від одного (середнє значення кожного підвектора, обумовлене значенням іншого підвектора, дорівнює безумовному середньому).

Якщо випадковий вектор X розподілений еліптично, то це вірно і для DX для будь-якої матриці D із повним рангом рядка. Таким чином, будь-яка лінійна комбінація компонентів X є еліптичною (хоча і не обов'язково з однаковим еліптичним розподілом), а будь-яка підмножина X є еліптичною.

Застосування

Еліптичні розподіли використовуються в статистиці та економіці.

У математичній економіці еліптичні розподіли використовувались для опису Шаблон:Не перекладено у фінансовій математиці.

Статистика: Узагальнений багатовимірний аналіз

У статистиці багатовимірний нормальний розподіл (Гаусса) використовується в класичному багатофакторному аналізі, в якому мотивовано більшість методів оцінки та перевірки гіпотез для нормального розподілу. На відміну від класичного багатовимірного аналізу, узагальнений багатовимірний аналіз відноситься до досліджень еліптичних розподілів не обмежених вимогою нормальності.

Для відповідних еліптичних розподілів деякі класичні методи продовжують володіти хорошими властивостями. З припущенням про скінченну дисперсію виконується розширення Шаблон:Не перекладено (про розподіл квадратних форм).

Сферичний розподіл

Еліптичний розподіл із нульовим середнім значенням та дисперсією у формі $\alpha I$, де $I$ є матрицею ідентичності, називається сферичним розподілом. Для сферичних розподілів були розширені класичні результати з оцінки параметрів та перевірки гіпотез. Подібні результати справедливі для лінійних моделей, а також для складних моделей (особливо для моделі Шаблон:Не перекладено). В аналізі багатовимірних моделей використовуються багатолінійна алгебра (зокрема добутки Кронекера і Шаблон:Не перекладено) та Шаблон:Не перекладено.

Робастна статистика: Асимптотика

Іншим використанням еліптичних розподілів є робастна статистика, де досліджується як статистичні процедури виконуються для класу еліптичних розподілів, щоб отримати уявлення про ефективність процедур щодо ще більш загальних проблем, наприклад, за допомогою Шаблон:Не перекладено.

Економіка та фінанси

Еліптичні розподіли мають важливе значення в теорії портфеля, оскільки, якщо прибутковість усіх активів, доступних для формування портфеля, розподіляється спільно еліптично, то всі портфелі можуть бути повністю охарактеризовані за своїм місцезнаходженням та масштабом – тобто будь-які два портфелі з однаковим розташуванням і масштабом доходності портфеля мають однаковий розподіл прибутковості портфеля. Різні особливості аналізу портфеля, включаючи Шаблон:Не перекладено та модель ціноутворення капіталу, мають місце для всіх еліптичних розподілів.

Посилання

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Chamberlain, G. (1983). «A characterization of the distributions that imply mean-variance utility functions», Journal of Economic Theory 29, 185—201. Шаблон:Doi
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book

  Originally Шаблон:Cite book

• Шаблон:Cite book
• Owen, J., and Rabinovitch, R. (1983). «On the class of elliptical distributions and their applications to the theory of portfolio choice», Journal of Finance 38, 745—752. Шаблон:Jstor
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book A collection of papers.