Дискретна теорема Гріна

Шаблон:Автопереклад У диференціальному численні існує дискретна версія теореми Гріна, яка описує відношення між подвійним інтегралом функції для узагальненої прямокутної області D (область, яка утворюється з скінченого додавання прямокутників на площині) й лінійної комбінації похідної функції, заданої в кутах області. У цьому значенні ми будемо дивитись більш відому версію Шаблон:Webarchive дискретної теореми Гріна.

Теорема названа на честь британського математика Джорджа Гріна, через схожість з його теоремою, теоремою Гріна: дві теоремі описують зв'язок між інтегруванням по кривій і інтегруванням по області, обмеженій кривою.

Історія

Теорема була вперше представлена як неперервне продовження алгоритму Ванга «Інтегральне представлення зображення», у 2007 році на Міжнародній конференції ICCV, а потім знову була видана професором Doretto і його колегами у рецензованому журналі у 2011 році.

Теорема

визначення ${\alpha }_D$

Припустимо що ƒ є інтегровною функцією на площині R², так що:

$F(x,y)\equiv \underset{0}{\overset{y}{\int }}\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(u,v)dudv$

є її похідна функції. Нехай $D\subset R^2$ — прямокутна область. Тоді представимо теорему як:

$\underset{D}{\iint }f(x,y)dxdy=\sum _{\overrightarrow{x}\in \mathrm{\nabla }\cdot D}{\alpha }_D\left(\overrightarrow{x}\right)\cdot F\left(\overrightarrow{x}\right),$

де $\mathrm{\nabla }\cdot D$ — множина кутів заданої області D , ${\alpha }_D$ є дискретним параметром з можливими значеннями {0, ±1, ±2}, які визначаються залежно типу кута, як показано на малюнку праворуч. Цей параметр є приватним випадком прагнення кривої, яка послідовно визначається за допомогою одностороннього розриву крива у кутах заданої області.

Ця теорема є природним продовженням алгоритму таблиці узагальненої області. Ця теорема розширює алгоритм в у тому сенсі, цо область може буди неперервною і вона може бути сформована з (скінченого) числа прямокутників, тоді як в алгоритмі таблиці узагальненої області передбачається, що область є єдиним прямокутником.

Дискретна теорема Гріна також узагальнює теорему Ньютона-Лейбніца.

Доведення

Для доведення теореми можна задіяти формулу з алгоритму «Інтегрального представлення зображення» яка включає в себе прямокутники, які утворюють цю область:

Це зображення показує, як + \ — коефіцієнти першочергової функції скорочуються у прямокутниках, окрім точок які знаходяться у кутах цієї області.

Приклад

Припустимо, що функція ƒ, задана на площині R² , тоді F є її похідною функцією. Нехай D — це, область, позначена зеленим на наступному малюнку:

згідно з теоремою, задіяною у цій області, виходить наступний вираз:

$\underset{D}{\iint }f(x,y)dxdy=F\left(J\right)-2F\left(K\right)+F\left(L\right)-F\left(M\right)+F\left(N\right)-F\left(O\right)+F\left(P\right)+F\left(Q\right)-F\left(R\right).$

Додаток

Дискретна теорема Гріна в комп'ютерних програмах зі знаходження об'єктів на зображеннях і їх швидкого обчислення, а також у інтересах ефективного розрахунку ймовірностей.

Узагальнення

У 2011 році були запропоновані способи узагальнення до теореми:

• Спосіб, запропонований професором Фам і його колегами: узагальнення теореми полігональних областей за допомогою динамічного програмування.
• Підхід, запропонований математиком Шахар: узагальнення теоремі на більш широкий спектр областей за допомогою оператора розриву і методу інтегрування похилої лінії за допомогою яких і була сформована дискретна теорема Гріна.

Див. також

• Теорема Гріна

Відео лекції

• Вступ в напівдискретне числення, які використовуються в дискретній теоремі Гріна Шаблон:Webarchive.