Диверсифікація ризиків за допомогою перестрахування

Перестрахування — страхування одним страховиком (цедентом, перестрахувальником) на визначених договором умовах ризику виконання всіх або частини своїх обов'язків перед страхувальником у іншого страховика (перестраховика). Перестрахування здійснюється перестрахувальником з метою захисту себе від втрат, які він може понести.

Диверсифікація ризиків дозволяє знизити рівень концентрації ризиків. Диверсифікація видів діяльності передбачає використання альтернативних можливостей отримання доходу і прибутку від різноманітних фінансових операцій.

Одним з основних принципів роботи страхової компанії є диверсифікація ризиків, яка передбачає те, що страховик не повинен включати у страховий портфель ризики лише одного виду, або здійснювати перестрахування ризиків лише в одній страховій компанії.

Припустимо, $W_{0}$ — загальний рівень ризику, взятого на страхування, який визначається: $W_{0} = x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + . . . + x_{l} p_{k}$ , де $l$ — вид ризику; $x_{l}$ — кількість договорів перестрахування $l$ -го виду; $p_{k}$ , $k = \frac{1}{l}$ — рівень ризику $k$ -го виду.

Якщо поділити ліву та праву частини рівняння на $W_{0}$ , отримаємо $1 = \frac{x_{1} p_{1}}{W_{0}} + \frac{x_{2} p_{2}}{W_{0}} + . . . + \frac{x_{l} p_{k}}{W_{0}}$ .

Позначимо частку договорів перестрахування $k$ -го виду $\frac{x_{l} p_{k}}{W_{0}}$ через $W_{k}$ , $(k = \frac{1}{l})$ . Необхідно знайти $W_{k}$ , $(k = \frac{1}{l})$ , яке мінімізує ризик портфелю $σ_{p o r t f}^{2}$ страхової компанії при умові, що $\sum_{k = 1}^{l} W_{k} = 1$ та існує середнє значення дохідності $M R_{p o r t f}$

Для визначення стохастичних процентних ставок звернемось до моделі Васічека, в якій короткострокова процентна ставка визначається рівнянням $d r (t) = a - b r (t) d t + σ d W (t)$ , де $[t, T]$ — інтервал часу; $r (t) = r$ — короткострокова процентна ставка; $a, a > 0$ — довгострокове середнє значення спот-ставки; $b, b > 0$ — параметр дрейфа (характеризує швидкість повернення процесу до довгострокового середнього значення); $σ$ — параметр дисперсії; $d W (t)$ — вектор прирощення $q$ -мірного стандартного вінерівського процесу.

Вінерівський процес — приклад марківського процесу, тобто процесу значення якого в даний момент $t$ повністю визначає його майбутню поведінку незалежно від минулого.

Нехай рівень ризику описується моделлю виду $P (t, T) = e x p {α (t, T) - r (t) β (t, T)}, t \in [t, T]$ , де функції $α (t, T), β (t, T)$ — стохастичні процентні ставки за договорами перестрахування, що задаються моделлю Васічека.

$α (t, T), β (t, T)$ визначаються формулами:

$α (t, T) = (b - \frac{σ^{2}}{2 a^{2}}) (β (t, T) - (T - t)) - \frac{σ^{2} β^{2} (t, T)}{4 a}$

$β (t, T) = \frac{1}{b} (1 - e^{- b (T - t)})$

Середнє значення процентної ставки визначається формулою:

$M r (t) = e x p (- b t) [r (0) + \frac{a}{b} (e x p (b t) - 1)]$

Дисперсія визначається формулою:

$D r (t) = e x p (- 2 b t) c^{2} D (\int_{0}^{t} e x p (b t) W (t)) = e x p (- 2 b t) c^{2} \frac{1}{2 b} (r^{2 b t} - 1)$

Дохідність договору перестрахування визначається формулою $i (t) = \frac{g (t) N + P (t) - R_{0}}{P_{0}}$ , де $g (t)$ — норма річного доходу від перестрахування ризиків; $P_{0}$ — початковий рівень ризику, переданого у перестрахування; $N$ — страхова сума за переданим у перестрахування договором.

Після перетворень отримаємо дохідність договору перестрахування:

$i (t) = \frac{g (t) N}{P_{0}} + \frac{1}{P_{0}} e x p (α - β r (t)) - 1, \forall t \in [0, T]$

Середня дохідність договору перестрахування буде дорівнювати:

$M i = \frac{g N}{P_{0}} + \frac{e^{α}}{P_{0}} M e^{- β r (t)} - 1 = \frac{g N}{P_{0}} + \frac{e^{α}}{P_{0}} M e^{- β (\frac{r - M r}{\sqrt{D r}} \sqrt{D r} + M r)} - 1 = \frac{g N}{P_{0}} + \frac{e^{α - β M r + \frac{β^{2} D r}{2}}}{P_{0}}$

А середня дохідність портфеля буде дорівнювати $M R_{p o r t f} = \sum_{j = 1}^{l} W_{j} M i_{j}$ , де $i_{j}$ — дохідність договору перестрахування $j$ -го виду, а очікуваний ризик:

$σ_{p o r t f}^{2} = \sum_{k = 1}^{l} \sum_{m = 1}^{l} W_{k} W_{m} c o v (i_{k}; i_{m})$

Коваріація випадкових величин $i_{k}, i_{m}$ розраховуються за формулою $c o v (i_{k}; i_{m}) = M (i_{k}; i_{m}) - M i_{k} M i_{m}$

Задача вибору оптимальної структури портфеля, тобто вибору оптимального вектора $(W_{1}^{*}; W_{2}^{*}; . . .; W_{l}^{*})$ — зводиться до знаходження значень $W_{j} (j = \frac{1}{l})$ , що мінімізують ризик портфеля, якщо $\sum_{k = 1}^{l} W_{k} = 1$ .

Розв'язання цієї задачі можна отримати методом множників Лагранжа. Перепишемо середню дохідність та ризик в матричній формі:

$σ_{p o r t f}^{2} = W^{T} \cdot v \cdot W$

$M R_{p o r t f} = m^{T} \cdot W$ ,

де $W$ — стовпчик невідомих часток $W_{j} (j = \frac{1}{l}), v = c o v (i_{k}; i_{m})$ — матриця коваріацій; $m$ — стовпчик, що складається з $M (i_{j}), (j = \frac{1}{l})$ .

Функція Лагранжа має вигляд:

$L = W^{T} V W + μ_{0} (I^{T} W - 1) + μ_{1} (m^{T} W - M R)$ , де $I$ — одинична матриця-стовпчик.

Оптимальний набір часток $(W_{1}^{*}; W_{2}^{*}; . . .; W_{l}^{*})$ визначається за формулою:

$W^{*} = V^{- 1} \frac{R (I (I^{T} V^{- 1} m) - m (I^{T} V^{- 1} I)) + m (I^{T} V^{- 1} m) - I (m^{T} V^{- 1} m)}{(I^{T} V^{- 1} m)^{2} - (I^{T} V^{- 1} I) (m^{T} V^{- 1} m)}$

Таким чином, страховику необхідно укладати $X_{k} = \frac{W_{k}^{*} W_{0}}{P_{k}}$ договорів перестрахування $k$ -го виду $(k = \frac{1}{l})$ .

Приклади задач з перестрахування ризику

Приклад 1

Розмір збитку не перевищує 50 гр. од. Власне утримання цедента — 10 гр. од. Решта ризику передана на квотне перестрахування, в якому цедент сплачує 20% збитку. Реальний збиток склав 30 гр. од. Скільки виплатить кожна сторона?

Розв'язок

Страховик виплатить: 10 + 20 * 0,2 = 14 гр. од.

Перестраховик виплатить: 20 * 0,8 = 16 гр. од.

Приклад 2

В договорі перестрахування на основі ексцедента збитковості передано два ризики. Ціна об'єктів — 30 і 50 гр. од. Договір передбачає виплату перестраховиком 20 гр. од. понад 5 гр. од. Збитки склали відповідно 5 і 15 гр. од. Визначити виплати сторін.

Розв'язок

Передано ризик від 6 до 25-ти гр. од. Реальний збиток — 20 гр. од. З них страховик виплатить 5 гр. од., а перестраховик — 15 гр. од.

Приклад 3

Страхова сума — 500 гр. од. Границя покриття страховиком — 200 гр. од. Страховий внесок — 20 гр. од. Як він розподілиться між цедентом і перестраховиком?

Розв'язок

Ризик ділиться в пропорції 200:300 = 2:3

Тому внески розподіляться відповідно: 20 * 2/5 = 8 і 20 * 3/5 = 12 (гр. од.)

Джерела

1. Закон України «Про страхування» [1] Шаблон:Webarchive

2. Козьменко О. В. Актуарні розрахунки: Навчальний посібник / О. В. Козьменко, О. В. Кузьменко. — Суми: Ділові перспективи, 2011. — 224с.

3. Кінаш О. М., Сороківський В. М., Папка М. В. Основи актуарних розрахунків. — Навчально-методологічний посібник. — Львів, — 2012.

Див. також

Диверсифікація ризиків за допомогою перестрахування

Приклади задач з перестрахування ризику

Джерела

Див. також

Навігаційне меню

Пошук