Дериваційні формули Вайнґартена

Дериваційні формули Вайнґартена — формули, що показують зв'язок між похідною одиничного вектора нормалі двовимірної поверхні з першими похідними радіус-вектора цієї поверхні. Встановлені Шаблон:Не перекладено (1861).

Якщо $\overline{r}=\overline{r}(u,v)$ — радіус-вектор поверхні, $\overline{n}$ — одиничний вектор нормалі, а $E,F,G$ і $L,M,N$ — коефіцієнти відповідно першої і другої квадратичних форм поверхні, то дані формули мають вигляд:

${\overline{n}}_u=\frac{FM-GL}{EG-F^2}{\overline{r}}_u+\frac{FL-EM}{EG-F^2}{\overline{r}}_v$

і

${\overline{n}}_v=\frac{FN-GM}{EG-F^2}{\overline{r}}_u+\frac{FM-EN}{EG-F^2}{\overline{r}}_v$

Компактно можна записати використовуючи індексний запис

${\partial }_a𝐧=K_a^b{𝐫}_b,$

де K_ab — це компоненти тензора кривини поверхні.

Література

• Рашевский П. К., Курс дифференциальной геометрии, 4 изд., М., 1956. Шаблон:Ref-ru