Відносна правдоподібність

Припустімо, що в статистиці нам було надано деякі дані, й ми будуємо статистичну модель цих даних. Відно́сна правдоподі́бність (Шаблон:Lang-en) порівнює відносні вірогідності (Шаблон:Lang-en) різних моделей-кандидатів, або різних значень параметра єдиної моделі.

Відносна правдоподібність значень параметрів

Припустімо, що нам надано деякі дані Шаблон:Mvar, для яких ми маємо статистичну модель із параметром Шаблон:Mvar. Припустімо, що оцінкою Шаблон:Mvar методом максимальної правдоподібності є $\hat{\theta }$. Відносні вірогідності інших значень Шаблон:Mvar може бути знайдено порівнюванням правдоподібностей цих інших значень із правдоподібністю $\hat{\theta }$. Відносну правдоподібність Шаблон:Mvar означують як

$ℒ(\theta \mid x)/ℒ(\hat{\theta }\mid x)$

де $ℒ(\theta \mid x)$ позначує функцію правдоподібності. Таким чином, відносна правдоподібність є відношенням правдоподібностей з незмінним знаменником $ℒ(\hat{\theta }\mid x)$.

Функція

$\theta \mapsto ℒ(\theta \mid x)/ℒ(\hat{\theta }\mid x)$

є функцією відносної правдоподібності (Шаблон:Lang-en).

Область правдоподібності

О́бласть правдоподі́́́бності (Шаблон:Lang-en) — це множина всіх значень Шаблон:Mvar, чиї відносні правдоподібності є більшими або рівними заданому порогові. В термінах відсотків, Шаблон:Mvar%-ву область правдоподібності для Шаблон:Mvar означують як

$\{\theta :\frac{ℒ(\theta \mid x)}{ℒ(\hat{\theta }\mid x)}\ge \frac{p}{100}\}.$

Якщо Шаблон:Mvar є єдиним дійснозначним параметром, то Шаблон:Mvar%-ва область правдоподібності зазвичай становить проміжок дійсних значень. Якщо ця область дійсно становить проміжок, то її називають про́міжком правдоподі́бності (Шаблон:Lang-en).

Проміжки правдоподібності, та, загальніше, області правдоподібності використовують для Шаблон:Нп в правдоподібницькій статистиці: вони є подібними до довірчих проміжків у частотницькій статистиці та ймовірних проміжків у баєсовій статистиці. Проміжки правдоподібності тлумачать безпосередньо в термінах відносної правдоподібності, а не в термінах Шаблон:Нп (частотництво) чи апостеріорної ймовірності (баєсівство).

Для заданої моделі проміжки правдоподібності можливо порівнювати з довірчими проміжками. Якщо Шаблон:Mvar є єдиним дійснозначним параметром, то, за певних умов 14.65%-й проміжок правдоподібності (правдоподібність близько 1:7) для Шаблон:Mvar буде таким же, як і 95%-й довірчий проміжок (ймовірність накриття 19/20). У дещо відмінному формулюванні, пристосованому для використання логарифмічних правдоподібностей (див. теорему Уілкса), перевірна статистика є подвоєною різницею логарифмічних правдоподібностей, а розподіл імовірності цієї перевірної статистики приблизно є розподілом хі-квадрат зі ступенями вільності, що дорівнюють різниці в ступенях вільності між цими двома моделями (тому проміжок правдоподібності Шаблон:Mvar⁻² є таким же, як і довірчий проміжок 0.954, за припущення, що різницею в ступенях вільності є 1).

Відносна правдоподібність моделей

Означення відносної правдоподібності може бути узагальнено для порівнювання різних статистичних моделей. Це узагальнення ґрунтується на ІКА (інформаційному критерієві Акаіке, Шаблон:Lang-en), або іноді на ІКАк (інформаційному критерієві Акаіке з коригуванням, Шаблон:Lang-en).

Припустімо, що для деяких наданих даних ми маємо дві статистичні моделі, Шаблон:Math та Шаблон:Math. Також припустімо, що Шаблон:Math. Тоді відносну правдоподібність Шаблон:Math по відношенню до Шаблон:Math означують наступним чином:

$\exp \left(\frac{\mathrm{AIC}(M_1)-\mathrm{AIC}(M_2)}{2}\right)$

Щоби побачити, що це є узагальненням ранішого означення, припустімо, що ми маємо деяку модель Шаблон:Math із (можливо, багатомірним) параметром Шаблон:Mvar. Тоді для будь-якого Шаблон:Mvar встановімо Шаблон:Math, а також встановімо Шаблон:Math$\hat{\theta }$Шаблон:Math. Це загальне означення тепер дає той самий результат, що й раніше означення.

Див. також

• Функція правдоподібності
• Обирання моделі
• Шаблон:Нп
• Затверджування статистичної моделі