Від'ємний біноміальний розподіл

Шаблон:Розподіл ймовірностей Від’ємний біноміальний розподіл в теорії імовірностей — розподіл дискретної випадкової величини, рівної кількості невдач в послідовності випробувань Бернуллі з імовірністю успіху $p$, проведеній до $r$-го успіху.

Означення

Нехай $\{X_i{\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ — послідовність незалежних випадкових величин з розподілом Бернуллі, тобто

$X_i=\{\begin{array}{cc}1,& p\\ 0,& q\equiv 1-p\end{array},i\in \mathbb{N}.$

Побудуємо випадкову величину $Y$ наступним чином. Нехай $k+r$ — номер $r$-го успіху в цій послідовності. Тоді $Y=k$. Більш строго, покладемо $S_n=\sum _{i=1}^n{X}_i$. Тоді

$Y=\inf \{n\mid S_n=r\}-r$.

Розподіл випадкової величини $Y$, визначеної таким чином, називається від’ємним біноміальним. Пишуть: $Y\sim \mathrm{N}\mathrm{B}(r,p)$.

Функції ймовірності і розподілу

Функція ймовірностей випадкової величини $Y$ має вигляд:

$\mathbb{P}(Y=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+r-1}{k})p^r{q}^k,k=0,1,2,\dots$.

Функція розподілу $Y$ кусково-постійна, і її значення в цілих точках може бути виражене через неповну бета-функцію:

$F_Y(k)=I_p(r,k+1)$.

Моменти

Твірна функція моментів від’ємного біноміального розподілу має вигляд:

$M_Y(t)={\left(\frac{p}{1-q{e}^t}\right)}^r$,

звідки

$𝔼[Y]=r\frac{q}{p}$,

Джерела

• Шаблон:Карташов.Імовірність процеси статистика
• Шаблон:Гнеденко.Курс теории вероятностей
• Шаблон:Гіхман.Скороход.Ядренко