Власні елементи орбіти

Власні елементи орбіти — параметри, що характеризують орбіту небесного тіла під час його руху під впливом збурень. Власні елементи практично не змінюються з часом, на відміну від оскулюючих елементів, які непостійні і в кожний момент часу визначаються як звичайні елементи орбіти у припущенні, що збурення відсутні. Отже, власні елементи є безпосередніми характеристиками орбіти тіла, не зміненими зовнішніми чинниками.

Опис

Розподіл різниці між оскулюючим та власним ексцентриситетом (вгорі) та нахилом орбіти (внизу) для астероїдів з великою піввіссю орбіти 2-4 а.о.

Оскулюючі елементи

В задачі двох тіл орбіта небесного тіла має форму конічного перетину, а форма орбити, її положення в просторі і положення тіла на ній однозначно задаються шістьма параметрами, які називаються елементами орбіти. Один з можливих наборів елементів, який буде використовуватись далі — велика піввісь $a$, ексцентриситет $e$, нахил $I$, довгота висхідного вузла $\mathrm{\Omega }$, довгота перицентру $\varpi$ і середня довгота $\lambda$Шаблон:Ref+Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Однак за наявності більш ніж двох тіл у системі взаємодія між ними призводить до того, що орбіти тіл вже не можна описати в такий спосіб. Однак на практиці, наприклад, у Сонячній системі орбіти планет не надто відрізняються від конічних перетинів, і їх можна описати звичайними елементами орбіти, однак у цьому випадку вони змінюються з часом. Для кожного моменту часу елементи орбіти, які б точно описували рух тіла, якби в цей момент всі збурення зникли, називаються оскулюючими елементами орбітиШаблон:Sfn.

Функція збурення

Функція збурення — це потенціал гравітаційного взаємодії з іншими тілами системи, крім центральногоШаблон:Ref+Шаблон:Sfn. Від неї залежить зміна оскулюючих елементів з часом: цей зв'язок виражається за допомогою планетних рівнянь ЛагранжаШаблон:Sfn.

Для оцінки того, як змінюються елементи орбіти з часом, можна уявити систему з масивним центральним тілом та двома тілами значно меншої маси. Тоді можна розглянути, як рухатиметься тіло дуже малої маси — пробна частинка — у полі тяжіння центрального тіла, з урахуванням збурень від двох інших тіл. Функцію збурення для пробної частинки можна приблизно виразити через елементи орбітШаблон:Ref+Шаблон:Sfn:

$R=n{a}^2[\frac{1}{2}A{e}^2+\frac{1}{2}B{I}^2+\sum _{j=1}^2{A}_{j}e{e}_j\cos (\varpi -{\varpi }_j)+\sum _{j=1}^2{B}_{j}I{I}_j\cos (\mathrm{\Omega }-{\mathrm{\Omega }}_j)],$

де $n$ — середній рух (середня кутова швидкість руху по орбіті)Шаблон:Sfn, елементи орбіти без індексів відносяться до пробної частинки, з індексами — до збурюючих тіл. Значення $A,A_j,B,B_j$ наведені нижчеШаблон:Sfn:

$A=n\frac{1}{4}\sum _{j=1}^2\frac{m_j}{m_c}{\alpha }_j{\overline{\alpha }}_j{b}_{3/2}^{(1)}({\alpha }_j),$

$A_j=-n\frac{1}{4}\frac{m_j}{m_c}{\alpha }_j{\overline{\alpha }}_j{b}_{3/2}^{(2)}({\alpha }_j),$

$B=-n\frac{1}{4}\sum _{j=1}^2\frac{m_j}{m_c}{\alpha }_j{\overline{\alpha }}_j{b}_{3/2}^{(1)}({\alpha }_j),$

$B_j=n\frac{1}{4}\frac{m_j}{m_c}{\alpha }_j{\overline{\alpha }}_j{b}_{3/2}^{(1)}({\alpha }_j).$

У даних формулах $m_j,m_c$ — маси, відповідно, збурюючого тіла з індексом $j$ та центрального тіла. $b_s^{(j)}(\alpha )$ — коефіцієнти Лапласа, визначені наступним чиномШаблон:Sfn:

$\frac{1}{2}{b}_s^{(j)}(\alpha )=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{\cos j\psi d\psi }{(1-2\alpha \cos \psi +{\alpha }^2{)}^s}.$

Символи ${\alpha }_j,{\overline{\alpha }}_j$ означаютьШаблон:Sfn:

${\alpha }_j=\{\begin{array}{c}{a}_j<a:a_j/a\\ a_j>a:a/a_j\end{array},$

${\overline{\alpha }}_j=\{\begin{array}{c}{a}_j<a:1\\ a_j>a:a/a_j\end{array}.$

Далі проводиться перехід від елементів орбіти до наступних коефіцієнтів, через які планетні рівняння Лагранжа записуються зручнішеШаблон:Sfn:

$h=e\sin \varpi ,$

$k=e\cos \varpi ,$

$p=I\sin \mathrm{\Omega },$

$q=I\cos \mathrm{\Omega }.$

Аналогічно визначаються коефіцієнти $h_j,k_j,p_j,q_j$ для збурюючих тіл. Тоді вираз для $R$ записуються в наступному виглядіШаблон:Sfn:

$R=n{a}^2[\frac{1}{2}A(h^2+k^2)+\frac{1}{2}B(p^2+q^2)+\sum _{j=1}^2{A}_j(h{h}_j+k{k}_j)+\sum _{j=1}^2{B}_j(p{p}_j+q{q}_j)].$

Планетні рівняння Лагранжа в коефіцієнтах $h,k,p,q$ записуються такШаблон:Sfn:

$\dot{h}=\frac{1}{n{a}^2}\frac{\partial R}{\partial k}=Ak+\sum _{j=1}^2{A}_j{k}_j,$

$\dot{k}=-\frac{1}{n{a}^2}\frac{\partial R}{\partial h}=-Ah-\sum _{j=1}^2{A}_j{h}_j,$

$\dot{p}=\frac{1}{n{a}^2}\frac{\partial R}{\partial q}=Bq+\sum _{j=1}^2{B}_j{q}_j,$

$\dot{q}=-\frac{1}{n{a}^2}\frac{\partial R}{\partial p}=-Bp-\sum _{j=1}^2{B}_j{p}_j,$

де точка над символом означає похідну за часом. Величини $h_j,k_j,p_j,q_j$ визначаються при аналізі руху збурюючих тіл під впливом центрального тіла та іншого збурюючого тіла, і з урахуванням цього система диференціальних рівнянь має розв'язокШаблон:Sfn:

$h=e_{\text{free}}\sin (At+\beta )+h_0(t),$

$k=e_{\text{free}}\cos (At+\beta )+k_0(t),$

$p=I_{\text{free}}\sin (Bt+\gamma )+p_0(t),$

$q=I_{\text{free}}\cos (At+\gamma )+q_0(t).$

Тут $t$ — час, а $e_{\text{free}},I_{\text{free}},\beta ,\gamma$ — константи, які залежать від початкових умов. $h_0,k_0,p_0,q_0$ — величини, що залежать від параметрів орбіти збурюючих тіл, а також від великої півосі орбіти пробної частинки, але не від інших елементів орбіти. Останні чотири параметри змінюються з часом. Такі ж за формою розв'язки виходять і при розгляді більшої кількості збурюючих тілШаблон:Sfn.

Власні елементи

Отримані рішення мають наочну геометричну інтерпретацію. Для цього вводяться такі величиниШаблон:Sfn:

$e_{\text{forced}}=\sqrt{h_0^2+k_0^2}$,

$I_{\text{forced}}=\sqrt{p_0^2+q_0^2}$.

Спочатку можна розглянути окремий розв'язок $\{h,k\}$. З визначення даних величин випливає, що точка на площині $(k,h)$ має радіус-вектор довжиною $e$, що утворює кут $\varpi$ з віссю $k$. З урахуванням виду цього розв'язку можна представити його як суму двох векторів: перший з'єднує початок координат з точкою $(h_0,k_0)$, має модуль $e_{\text{forced}}$ і утворює кут, який можна назвати ${\varpi }_{\text{forced}}$, з віссю $k$. Другий вектор з'єднує точки $(h_0,k_0)$ і $(h,k)$, має модуль $e_{\text{free}}$ і утворює кут ${\varpi }_{\text{free}}=At+\beta$ з віссю $k$Шаблон:Sfn.

Таким чином, зміна оскулюючих елементів орбіти частинки можна представити як рух у площині $(k,h)$. У цих координатах частинка рівномірно рухається по колу з радіусом $e_{\text{free}}$ навколо точки $(h_0,k_0)$, яка, у свою чергу, переміщується складним чином. Аналогічні міркування та висновки можна отримати для розв'язку $\{p,q\}$. Значення $e_{\text{free}},I_{\text{free}},{\varpi }_{\text{free}},{\mathrm{\Omega }}_{\text{free}}$ називаються власними елементами орбіти, які практично не змінюються з часомШаблон:Ref+, так що їх можна вважати фундаментальними властивостями орбіти частинки. Значення $e_{\text{forced}},I_{\text{forced}},{\varpi }_{\text{forced}},{\mathrm{\Omega }}_{\text{forced}}$ називають збуреними елементами — вони змінюються з часом і залежать від збуреньШаблон:Sfn.

Проведений вище аналіз не показує відмінностей між оскулюючою та власною великою піввіссю орбіти, оскільки в ньому не бралися до уваги короткоперіодичні збурення, проте тільки такі збурення впливають на велику піввісь. Оскільки на тривалих проміжках часу внесок короткоперіодичних збурень «усереднюється» і зводиться до нуля, велика піввісь не демонструє довгострокових змінШаблон:Sfn.

Власні елементи є квазі-інтегралами руху та залишаються незмінними протягом дуже тривалого часу. Вони відображають певним чином «усереднені» за часом характеристики руху небесного тіла, у яких виключено вплив коротко- та довгоперіодичних збурень.

Існують різні способи обчислення власних елементів на основі спостережуваних величин. У загальних рисах, для цього спочатку складається модель сил, що діють на досліджуване тіло, проводиться усереднення елементів орбіти за часом, щоб позбутися впливу короткоперіодичних збурень, а потім проводиться обчислення інших збурень і віднімання вимушених елементів від оскулюючих.

Власні елементи широко використовуються для вивчення, наприклад, динаміки поясу астероїдів, а також для поділу астероїдів на сім'ї. У наступній таблиці як приклад представлені власні та оскулюючі елементи Церери на епоху MJD 59800,0 (9 серпня 2022):

Елементи орбіти Церери

	$a$, а. е.	$e$	$i$, °
Власні	2,7612	0,115	9,660
Оскулюючі	2,7666	0,0786	10,587

Сім'ї Хіраями

Діаграми, що показують співвідношення між оскулюючими (ліворуч) та власними (праворуч) ексцентриситетом і нахилом орбіти астероїдів. Для власних елементів добре помітні скупчення — сім'ї астероїдів.

У 1918 році Кійоцуґу Хіраяма побудував діаграми ($a$, $e$) та ($a$, $i$) для відомих астероїдів і виявив, що в деяких областях на діаграмі спостерігаються скупчення астероїдів. Спочатку Хіраяма будував діаграми для оскулюючих елементів, але згодом став використовувати власні елементи, для яких скупчення були краще помітніШаблон:Sfn.

Таким чином було виділено безліч сімей, наприклад, сім'ї Феміди, Еос, Короніди, Марії та інші. Вважається, що сім'ї астероїдів виникають при повному або частковому руйнуванні «батьківського» астероїда в результаті зіткнення: фрагменти набувають відносну швидкість, невелику порівняно зі швидкістю руху по орбіті, і залишаються близько одне до одного у фазовому просторі власних елементів орбіти протягом тривалого часу.

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга