Бета-негативний біноміальний розподіл

У теорії ймовірностей бета-негативний біноміальний розподіл є розподілом ймовірностей дискретної випадкової величини $X$, що дорівнює кількості відмов, необхідних для отримання $r$ успіхів в серії незалежних випробувань Бернуллі. Ймовірність $p$ успіху в кожному випробуванні залишається незмінним у межах будь-якого експерименту, але змінюється в різних експериментах згідно бета-розподілу. Отже, розподіл є складеним розподілом ймовірностей.

Цей розподіл також називають зворотним розподілом Маркова-Пойя та узагальненим розподілом Варінга. Зміщену форму розподілу називають бета-розподілом Паскаля.

Якщо параметри бета-розподілу є $\alpha$ і $\beta$, і якщо

$X\mid p\sim \mathrm{N}\mathrm{B}(r,p),$

де

$p\sim \text{B}(\alpha ,\beta ),$

тоді граничний розподіл $X$ має бета-негативний біноміальний розподіл:

$X\sim \mathrm{B}\mathrm{N}\mathrm{B}(r,\alpha ,\beta ).$

У наведеному вище, $\mathrm{N}\mathrm{B}(r,p)$ є від’ємним біноміальним розподілом і $\text{B}(\alpha ,\beta )$ є бета-розподіл.

Означення

Якщо $r$ — ціле число, тоді функцію ймовірностей можна записати через бета-функцію:

$f(k|\alpha ,\beta ,r)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{r+k-1}{k})\frac{\mathrm{B}(\alpha +r,\beta +k)}{\mathrm{B}(\alpha ,\beta )}$ .

Узагальнюючи можна записати

$f(k|\alpha ,\beta ,r)=\frac{\mathrm{\Gamma }(r+k)}{k!\mathrm{\Gamma }(r)}\frac{\mathrm{B}(\alpha +r,\beta +k)}{\mathrm{B}(\alpha ,\beta )}$

або

$f(k|\alpha ,\beta ,r)=\frac{\mathrm{B}(r+k,\alpha +\beta )}{\mathrm{B}(r,\alpha )}\frac{\mathrm{\Gamma }(k+\beta )}{k!\mathrm{\Gamma }(\beta )}$ .

Функція ймовірностей, виражена через гамма функцію

Використовуючи властивості бета-функції, функція ймовірності для цілого $r$ можна переписати наступним чином:

$f(k|\alpha ,\beta ,r)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{r+k-1}{k})\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +r)\mathrm{\Gamma }(\beta +k)\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta )}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +r+\beta +k)\mathrm{\Gamma }(\alpha )\mathrm{\Gamma }(\beta )}$ .

У більш загальному вигляді можна записати

$f(k|\alpha ,\beta ,r)=\frac{\mathrm{\Gamma }(r+k)}{k!\mathrm{\Gamma }(r)}\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +r)\mathrm{\Gamma }(\beta +k)\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta )}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +r+\beta +k)\mathrm{\Gamma }(\alpha )\mathrm{\Gamma }(\beta )}$ .

Вираження через символи Похамера

Функція ймовірностей часто також можна подати в термінах символів Похамера для цілого числа $r$

$f(k|\alpha ,\beta ,r)=\frac{r^{(k)}{\alpha }^{(r)}{\beta }^{(k)}}{k!(\alpha +\beta {)}^{(r+k)}}$

Властивості

Неідентифіковність

Бета-негативний біноміальний розподіл є неідентифіковним, що можна легко помітити, просто міняючи місцями $r$ і $\beta$ у наведеній вище функції ймовірності чи характеристичній функції та відзначити, що вони незмінюються. Отже, оцінка вимагає встановлення обмежень на котрийсь з параметрів $r$, $\beta$ або й на обидва.

Зв'язок з іншими розподілами

Бета-негативний біноміальний розподіл містить бета-геометричний розподіл як окремий випадок, коли $r=1$ . Тому він може як завгодно добре апроксимувати геометричний розподіл. Він також дуже добре апроксимує негативний біноміальний розподіл для великих $\alpha$ і $\beta$. Тому він може як завгодно добре апроксимувати розподіл Пуассона для великих $\alpha$, $\beta$ і $r$.

Важкохвостий

За допомогою наближення Стірлінга бета-функції можна легко показати, що для великих $k$

$f(k|\alpha ,\beta ,r)\sim \frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +r)}{\mathrm{\Gamma }(r)\mathrm{B}(\alpha ,\beta )}\frac{k^{r-1}}{(\beta +k{)}^{r+\alpha }}$

це означає, що бета-негативний біноміальний розподіл має важкі хвости і що моменти менші або рівні $\alpha$ не існують.

Бета-геометричний розподіл

Бета-геометричний розподіл є важливим окремим випадком бета-негативного біноміального розподілу, що виникає при $r=1$. У цьому випадку функція ймовірності спрощується до

$f(k|\alpha ,\beta )=\frac{\mathrm{B}(\alpha +1,\beta +k)}{\mathrm{B}(\alpha ,\beta )}$.

Цей розподіл використовується в моделях Buy Till You Die (BTYD).

Далі, коли $\beta =1$ бета-геометричний розподіл зводиться до розподілу Юля-Саймона. Однак більш поширеним є означення розподілу Юля-Саймона в термінах зміщеної версії бета-геометричного розподілу. Зокрема, якщо $X\sim BG(\alpha ,1)$ потім $X+1\sim YS(\alpha )$.

Див. також

• Негативний біноміальний розподіл
• Негативний мультиноміальний розподіл Діріхле

Список літератури

• Johnson, N.L.; Kotz, S.; Kemp, A.W. (1993) Univariate Discrete Distributions, 2nd edition, Wiley Шаблон:ISBN (Section 6.2.3)
• Kemp, C.D.; Kemp, A.W. (1956) "Generalized hypergeometric distributions, Journal of the Royal Statistical Society, Series B, 18, 202–211
• Wang, Zhaoliang (2011) "One mixed negative binomial distribution with application", Journal of Statistical Planning and Inference, 141 (3), 1153-1160 Шаблон:DOI

Зовнішні посилання

• Інтерактивна графіка: однофакторні співвідношення розподілу