Алгебра (універсальна алгебра)

Універсальна алгебра (універсальна алгебра заданої сигнатури) — це множина, що називається носієм алгебри, з набором n-арних алгебраїчних операцій, що називаються сигнатурою алгебри. При цьому вважається що для n-арних операцій не задані ніякі аксіоми, які вони повинні задовільняти (аксіоми задаються відношеннями). Розглядаються тільки загальні властивості, що обумовлені сигнатурою.

Якщо ж для операцій деякої універсальної алгебри задано аксіоми, які вони повинні задовільняти, то «універсальність» втрачається і універсальна алгебра перетворюється на конкретну алгебричну структуру.

Приклади

• Універсальна алгебра з однією бінарною операцією називається магмою (чи групоїдом).

Властивості

Для універсальних алгебр справедлива теорема про гомоморфізм. Якщо

$\phi :A\to A^{\prime }$ — гомоморфізм універсальних алгебр,

$\theta$ — ядерна конгруенція $\phi$ (тобто $\theta =\{(x,y)\in A\times A|\phi (x)=\phi (y)\}$,

то фактор-структура $A/\theta$ ізоморфна $A^{\prime }$.

Для універсальних алгебр вивчені супутні структури:

• група автоморфізмів $𝐀𝐮𝐭A$,
• моноїд ендоморфізмів $𝐄𝐧𝐝A$,
• ґратка підалгебр $𝐒𝐮𝐛A$,
• ґратка конгруенцій $𝐂𝐨𝐧A$, зокрема показано, що для довільної групи $G$ і ґраток $L_0$ та $L_1$ існує така універсальна алгебра $A$, що

$G\cong 𝐀𝐮𝐭A$,

$L_0\cong 𝐒𝐮𝐛A$,

$L_1\cong 𝐂𝐨𝐧A$.

Див. також

• Підструктура (математика)
• Фактор-структура
• Теорема про гомоморфізми
• Теореми про ізоморфізми

Джерела

• Шаблон:Бурбаки.Алгебра.ч1
• Шаблон:Кон.Универсальная алгебра
• Шаблон:Курош.Общая алгебра
• Шаблон:Мальцев.Алгебраические системы
• Шаблон:СМБ.Общая алгебра.т2