Алгебра Фреше

Алгебра Фреше $(A,q_n)$ - комплексна топологічна алгебра, локально опуклий метризовуваний простір $X$, наділений структурою алгебри, причому алгебричні операції у ньому є неперервними. Напівнорми $q_n$ на $A$ породжують локально опуклу топологію на $X$, їх можна обрати мультиплікативно опуклими. Іншими словами, топологія на $X$ задається деякою зліченною системою напівнорм $q_j$ таких, що

$q_j(xy)\le q_j(x)q_j(y),\mathrm{\forall }x,y\in X,j=1,...,\mathrm{\infty }.$

Тобто модуль Фреше над алгеброю $A$ є повним метризовуваним локально опуклим простором разом із неперервним зовнішнім множенням на елементи алгебри $A$. Наприклад, модуль Фреше над $A$ є локально опуклим простором, який реалізується як проективний тензорний добуток $A\otimes E$ для декотрого метризованого простору $E.$ Такі модулі називаються вільними.

Визначення

Локально опуклий простір - векторний простір, наділений локально опуклою топологією (не обов'язково хаусфордовий). Поповнення такого простору $E$ є поповненням асоційованого з ним локально опуклого хаусфордового простору $E_{sep}=E/\overline{\{0\}}$ й позначається $\tilde{E}.$

Проективний тензорний добуок локально опуклих просторів $E$ та $F$ позначається $E{\otimes }_{p}F.$

Нехай $E$ та $F$ є хаусфордовими, тоді бази окілів нуля у просторах $E{\otimes }_{p}F$ та $E\hat{\otimes }F$ можуть побудованими наступним чином. Для пари множин $U\subset E$ та $V\subset F$ існує множина

$U\otimes V=\{x\otimes y|X\in U,y\in V\}\subset E\otimes F.$

Зрозуміло, якщо $U\subset E$ та $V\subset F$ є векторними просторами, то їхній тензорний добуток як множин у $E$ та $F$ не збігається з їхнім тензорним добутком як векторних просторів. Нехай також $O(U\otimes V)$ є абсолютною оболонкою виділеної множини. Тоді якщо $U$ пробігає яку-небудь базу абсолютно опуклих окілів нуля у $E$, а $V$ - яку-небудь базу абсолютно опуклих окілів нуля у $F,$ то множини типу $O(U\otimes V)$ утворюють базу окілів нуля у $E{\otimes }_{p}F$, а їхнє замикання $\overline{O(U\otimes V)}$ у просторі $E\hat{\otimes }F$ - базу окілів нуля у $E\hat{\otimes }F$.

Топологія на просторах $E{\otimes }_{p}F$ та $E\hat{\otimes }F$ визначається класом усеможливих тензорних напівнорм $p\otimes q,$ де $p$ пробігає довільний спрямований визначальний клас напівнорм на $E,$ a $q$ - на $F$.

Ядерне відображення - лінійний оператор $𝒬$, який відображає один локально опуклий простір $E$ у другий $F$, $𝒬:E\to F$ за умови, якщо він представляється у вигляді

$x\mapsto 𝒬x=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{k}_i{x}_{(x)}^{*}{y}_i,$

де $\{k_i\}$ є сумою числової послідовності, $\{x^{*}\}$ - рівностепенево неперервна послідовність у $E^{*}$ (спряженому до $E$ просторі), $\{y_i\}$ - послідовність елементів повної обмеженої опуклої закругленої множини у $F;$ значення лінійного функціоналу $x^{*}$ на векторі $x$ тут позначено $x_{(x)}^{*}.$ Таким чином припускається спеціального виду апроксимація операторами скінченного рангу (тобто лінійними неперервними операторами із скінченновимірними образами) по ядерній нормі.

Простір неперервних лінійних відображень локально опуклих просторів $E$ та $F$ позначмо через $𝔔(E,F).$ Для кожного локально опуклого простору $G$ й кожного $u\in 𝔔(E,F)$ існують лінійні відображення

$u_{G,*}:𝔔(E,F)\to 𝔔(E,F),𝔮\mapsto u\circ 𝔮,$

$u_G^{*}:𝔔(E,F)\to 𝔔(E,F),𝔮\mapsto 𝔮\circ u,$

натуральні по $G$.

Нехай тепер $E$ та $F$ - локально опуклі простори. Для будь-яких підмножин $S\subset E$ та $U\subset F$

$M(S,U)=\{𝔮\in 𝔔(E,F):𝔮(S)\subset U\}.$

Якщо $𝔖$ - фіксована система обмежених підмножин простру $E$, то множини типу $M(S,U),$ де $E$ пробігає $𝔖,$ а $U$ - довільну передбазу окілів нуля у $F$, утворюють передбазу окілів нуля для деякої локально опуклої топології на $𝔔(E,F),$ яка є топологією рівномірної збіжності на елементах з $𝔖$, що можна позначити ${𝔔}_b(E,F)$. Для нормованих просторів $E$ та $F$ топологія на такому просторі ${𝔔}_b(E,F)$ задається звичайною операторною нормою.

Нехай $E$ є векторним простором, а $p$ - напівнорма на $E$. Фактор-простір $E_{}^0=E/p^{-1}(0)$ є нормованим простором відносно фактор-норми напівнорми $p$. Якщо $E$ - топологічний векторний простір, а напівнорма $p$ є неперервною, то відображення $\zeta =E\to E_p,x\mapsto y+p^{-1}(0),$ де $E_p$ є поповненням виділеного фактор-простору, є неперервним. Пара $(E_p,\zeta )$ (або сам простір $E_p$) є супутнім простору $E$ банаховим простором, який відповідає напівнормі $p$.

Топологічна алгебра $A$ є наділена локально опуклою топологією, відносно якої операція добутку $A\times A\to A$ роздільно є неперервною. Якщо $A$ є повною, а добуток у $A$ неперервний, то така алгебра називається $\hat{\otimes }$-алгеброю. Добуток у $\hat{\otimes }$-алгебрі $A$ визначає неперервне лінійне відображення $A\hat{\otimes }A\to A,a\otimes b\mapsto ab.$

Напівнорма $||\cdot ||$ на $A$ називається субмультиплікативною, якщо вона задовільняє умові $||ab||\le ||a||||b||\mathrm{\forall }a,b\in A.$ Топологічна алгебра $A$ є локально $m$-опуклою, якщо її топологія може бути задана класом субмультиплікативних напівнорм. Повна така алгебра називається алгеброю Арнеса-Майкла. Поповнення $A$ відносно топології, яка породжена класом субмультиплікативних норм на $A$ називається її оболонкою Аренса-Майкла. Комутативна алгебра Фреше $A$ як частковий випадок алгебри Аренса-Майкла є зворотною границею системи супутніх банахових алгебр, кожна з яких є поповненням за фактор-переднормою результату факторизації алгебри за ядром переднорми. Нехай у такому випадку простір $E$ є локально опуклим і нехай є спрямований (відносно порядку $\prec$) клас неперервних напівнорм $𝒫$ на $E$, який визначає його топологію. Тоді банахові простори $E_p$ й відображення ${\eta }_{pq}$ ($p$ пробігає $𝒫$) утворюють зворотну систему, а відбраження ${\eta }_p,p\in 𝒫,$ визначають канонічне неперервне лінійне відображення $\eta :E\to \underleftarrow{\lim }(E_o,{\eta }_{pq},𝒫),$ де $p,q$ є неперервними напівнормами на $E$ та неперервне лінійне відображення ${\eta }_{pq}:E_q\to E_p$ задовільняє співвідношенню ${\eta }_{pq}{\eta }_q={\eta }_p.$

Див. також

• Ядерний оператор