Алгебра Гейтінга

Шаблон:Алгебричні структури Алгебра Гейтінга — ґратка, що узагальнює Булеву алгебру, названа на честь Аренда Гейтінга. Алгебри Гейтінга постають як моделі інтуіціоністської логіки, логіки в якій закон виключення третього не виконується.

Визначення

Алгебра Гейтінга H — обмежена ґратка (тобто існують 0 та 1), така що для всіх a,b ∈ H існує найбільший елемент x ∈ H такий, що

$a\wedge x\le b.$

Цей елемент є відносним псевдо-доповненням a по відношенню до b, і позначається Шаблон:Nowrap

Псевдо-доповненням довільного елемента x називається Шаблон:Nowrap Отже, за визначенням, Шаблон:Nowrap. Хоча, не завжди Шаблон:Nowrap як це виконується в Булевій алгебрі.

Доповнена Алгебра Гейтінга — Алгебра Гейтінга, що є доповненою ґраткою.

Алгебраїчне визначення

Алгебра Гейтінга H — обмежена ґратка, з бінарною операцією імплікації, тобто:

1. $a\to a=1$
2. $a\wedge (a\to b)=a\wedge b$
3. $b\wedge (a\to b)=b$
4. $a\to (b\wedge c)=(a\to b)\wedge (a\to c)$ — дистрибутивний закон.

Приклади

• Булева алгебра є алгеброю Гейтінга, в якій імплікація визначена як p → q = ¬p ∨ q.
• Лінійно впорядкована множина що є обмеженою ґраткою є алгеброю Гейтінга, де p → q дорівнює q, якщо p>q, і 1 в протилежному випадку.
• Найпростішою алгеброю Гейтінга, що не є Булевою алгеброю є цілком впорядкована множина {0, ½, 1} з імплікацією, визначеною як в прикладі 2. Зауважимо, що не виконується закон виключення третього: Шаблон:Nowrap.

Властивості

Загальні властивості

• Алгебра Гейтінга є дистрибутивною ґраткою.
• Частковий порядок ≤ на H може мати відновлений за допомогою операції → таким чином: для довільних a, b ∈ H, Шаблон:Nowrap тоді і тільки тоді, коли Шаблон:Nowrap

• На відміну від багатозначної логіки, якщо в алгебрі Гейтінга (чи Булевій алгебрі) для деякого елемента: Шаблон:Nowrap , тоді алгебра є одноелементною.

Закони де Моргана

Один із законів де Моргана в алгебрі Гейтінга виконується без змін:

$\mathrm{\neg }(x\vee y)=\mathrm{\neg }x\wedge \mathrm{\neg }y$

Інший виконується в слабшій формі:

$\mathrm{\neg }(x\wedge y)=\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }(\mathrm{\neg }x\vee \mathrm{\neg }y)$

Джерела

• Шаблон:Биркгоф.Теория решёток