Букет кіл

Букет чотирьох кіл (роза з чотирма пелюстками)

Буке́т кіл (відомий також як роза) — топологічний простір, отриманий склеюванням набору кіл навколо однієї точки. Кола букета іноді називають пелюстками троянди. Букети кіл важливі в алгебричній топології, де вони тісно пов'язані з вільними групами.

Визначення

Фундаментальна група вісімки є вільною групою, згенерованою елементами a та b

Букет кіл є окремим випадком букета просторів. Тобто букет кіл є фактор-простором C/S, де C — незв'язне об'єднання кіл за множиною S, яка складається по одній точці з кожного кола. Як клітинний комплекс букет кіл має одну вершину і по одному ребру для кожного кола. Це робить його простим прикладом топологічного графа.

Букет із n кіл можна отримати також ототожненням n точок одного кола. Букет із двох кіл називають вісімкою.

Зв'язок із вільними групами

Універсальне накриття вісімки можна візуалізувати графом Келі вільної групи на двох генераторах a та b

Фундаментальна група букета кіл є вільною з одним генератором для кожної пелюстки. Універсальне накриття є нескінченним деревом, яке можна ототожнити з графом Келі вільної групи. (Це окремий випадок Шаблон:Не перекладено, асоційованого з будь-яким заданням групи.)

Проміжні накриття букета кіл відповідають підгрупам вільної групи. Спостереження, що будь-яке накриття букета кіл є графом, дає просте доведення, що будь-яка підгрупа вільної групи вільна (Шаблон:Не перекладено).

Оскільки універсальне накриття букета кіл стягується, букет кіл є Шаблон:Нп для асоційованої вільної групи F . З цього випливає, що когомологія груп $H^n(F)$ тривіальна для $n⩾2$.

Інші властивості

Вісімка в тор

• Будь-який зв'язний граф гомотопічно еквівалентний букету кіл. Зокрема, букет кіл є фактор-простором графа, отриманого стягуванням кістякового дерева.
• Куля з видаленими n точками (або сфера з видаленими $n+1$ точками) є деформаційним ретрактом у букет кіл з n пелюстками. Одне з кіл букета оточує кожну з видалених точок.
• Тор з однією видаленою точкою є деформаційним ретрактом у вісімку, а саме об'єднання двох породжувальних кіл. Загальніше, поверхня роду g з однією видаленою точкою є деформаційним ретрактом у букет кіл з 2g пелюстками, а саме в межу Шаблон:Не перекладено.
• Букет кіл може мати нескінченно багато пелюсток, що приводить до фундаментальної групи, яка вільна на нескінченно великій кількості генераторів. Букет зі зліченного кіл подібний до гавайської сережки — є неперервна бієкція з букета кіл у гавайську сережку, але вони не гомеоморфні.

Див. також

• Шаблон:Не перекладено
• Квадрифолій (чотирилисник)
• Вільна група
• Топологічний граф

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга