Гіперболічна нерухома точка

Гіперболі́чна нерухо́ма то́чка (гіперболі́чна то́чка) — фундаментальне поняття, що використовується в теорії динамічних систем стосовно відображень (дифеоморфізмів) і векторних полів. У разі відображення гіперболічною точкою називають нерухому точку, в якій усі мультиплікатори ${\mu }_i$ (власні числа лінеаризації відображення в даній точці) за модулем відмінні від одиниці. У разі векторних полів гіперболічною точкою називають особливу точку, в якій усі власні числа лінеаризації поля ${\lambda }_i$ мають ненульові дійсні частини.

Найпростіший приклад гіперболічної особливої точки векторного поля — сідло.

Стійкий та нестійкий многовиди

У гіперболічній точці векторного поля (або дифеоморфізму) дотичний простір розкладається в пряму суму двох інваріантних підпросторів $T^u$ і $T^s$, інваріантних відносно оператора лінійної частини поля: ${ℝ}^n=T^s\oplus T^u$. Підпростори $T^u$ і $T^s$ визначаються відповідно умовами $\mathrm{Re}{\lambda }_i>0$, $\mathrm{Re}{\lambda }_i<0$ у разі векторних полів та умовами $|{\mu }_i|>1$, $|{\mu }_i|<1$ у разі дифеоморфізмів. Ці підпростори є інваріантними многовидами лінеаризованого векторного поля (дифеоморфізму) у цій точці, вони називаються його нестійким та стійким відповідно.

Нестійким та стійким многовидами початкового нелінійного векторного поля (дифеоморфізму) називають його інваріантні многовиди $W^u$ і $W^s$, що дотикаються відповідно до підпросторів $T^u$ і $T^s$ у точці, що розглядається, і мають ті ж розмірності, що $T^u$ і $T^s$. Многовиди $W^u$ і $W^s$ визначаються в єдиний спосіб. Зазначимо, що мнгоговиди $W^u$ і $W^s$ існують у випадку гіперболічних особливих точок, проте у разі гіперболічної точки сума їх розмірностей дорівнює розмірності всього простору, й інших інваріантних многовидів, які проходять через цю особливу точку, немає.

Теореми про гіперболічні точки

Теорема Гробмана — Гартмана. В околі гіперболічної точки нелінійного дифеоморфізму (векторного поля) динаміка відрізняється від такої для відповідного лінійного відображення (векторного поля) неперервною заміною координат.

Теорема Адамара — Перрона. В околі гіперболічної точки гладкого (або аналітичного) векторного поля або дифеоморфізму існують нестійкий та стійкий многовиди $W^u$ і $W^s$ такого ж класу гладкості (відповідно, аналітичні), що проходять через цю точку.

Теорема Ченя. Якщо в околі гіперболічної точки два $C^{\mathrm{\infty }}$-гладкі векторні поля (дифеоморфізм) формально еквівалентні (тобто, переводяться один в одного формальною заміною змінних, заданою формальними степеневими рядами), то вони $C^{\mathrm{\infty }}$-гладко еквівалентні.

Див. також

• Диффеоморфізм Аносова
• Гіперболічна множина
• Центральний многовид

Література

• Шаблон:Книга
• В. И. Арнольд, Ю. С. Ильяшенко. Обыкновенные дифференциальные уравнения, Динамические системы — 1, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 1, ВИНИТИ, М., 1985, 7–140
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга