Гіперболічна множина

У теорії динамічних систем кажуть, що дифеоморфізм $f$ многовиду $M$ гіперболічний на інваріантній множині $\mathrm{\Lambda }$, якщо дотичне розшарування над $\mathrm{\Lambda }$ допускає неперервний розклад у пряму суму,

$T_{\mathrm{\Lambda }}M=E^u\oplus E^s,$

причому підрозшарування $E^u$ і $E^s$ інваріантні відносно динаміки, та вектори $E^u$ розтягуються, а вектори $E^s$ стискаються під дією динаміки:

$\Vert f^n(v)\Vert \le c_1{\lambda }^n\Vert v\Vert \mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},v\in E^s,$

$\Vert f^n(v)\Vert \ge c_2{\mu }^n\Vert v\Vert \mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},v\in E^u,$

де $c_1,c_2>0$ і $\mu >1>\lambda >0$ — сталі.

Також у цьому випадку кажуть, що $\mathrm{\Lambda }$ — гіперболічна інваріантна множина відображення $f$.

Лінійні системи

Лінійну систему звичайних диференціальних рівнянь називають гіперболічною, якщо всі її власні значення (загалом, комплексні) мають відмінні від нуля дійсні частини.

Див. також

• Гіперболічна нерухома точка
• Дифеоморфізм Аносова
• Підкова Смейла

Література

• Шаблон:Книга