Магнітні поверхневі рівні

Магнітні поверхневі рівні — квантові рівні енергії електронів, що здійснюють періодичний рух уздовж поверхні металу, паралельно до якої прикладено зовнішнє магнітне поле. Вперше виявлено та пояснено М. С. Хайкіним у 1960 році. Наукове відкриття, зареєстроване у Державному реєстрі відкриттів СРСР .

Квазикласична теорія

Рис. Траєкторії поверхневих електронів у реальному та імпульсному просторах.

При дзеркальному відбитті носіїв заряду поверхнею в паралельному магнітному полі $H$ електрони рухаються по траєкторіях, що «скачуть», для яких кожна наступна ділянка відтворює попередню (див. Рис.). Рух електрона вздовж нормалі до поверхні (вісь $y$) є періодичним, і, відповідно до загальних принципів квантової механіки, квантується. Квазикласичні рівні енергії можуть бути знайдені з умови квазікласичного квантування Ліфшиця — Онсагера площі, яку обмежує траєкторія електрона в імпульсному просторі (Рис.):

$S_n=\frac{2\pi e\hslash H}{c}(n+\gamma ),(1)$

де $n\gg 1$ — ціле позитивне число, $e$ — абсолютна величина заряду електрона, $c$ — швидкість світла, $\left|\gamma \right|<1$ . Розрахунок виходячи з рівняння Шредінгера (див. нижче) показує, що $\gamma \approx -1/4$. У металах найбільшу ймовірність дзеркального відбиття від границі мають електрони, що стикаються з нею під малими кутами, $\phi \ll 1$, оскільки для таких електронів дебройлівська довжина хвилі, пов'язана з рухом вздовж нормалі до поверхні, менша за розмір поверхневих неоднорідностей. У цьому випадку площа сегменту $S$ кола з ларморівським радіусом $r_H=cp/eH$ ($p$ — радіус кривини орбіти в імпульсному просторі) та його висота $h$ дорівнюють:

$S\approx \frac{2}{3}{r}_H^2{\phi }^3;h\approx \frac{r_H{\phi }^2}{2}.(2)$

Використовуючи формули (1), (2), отримуємо:

$S_n=\frac{4}{3}{\left(\frac{eH}{c}\right)}^2{\left(2h_n^3{r}_H\right)}^{1/2}=\frac{2\pi e\hslash H}{c}(n-\frac{1}{4}),(3)$

де $h_n$ — дискретні значення висоти сегмента. Оскільки при $y\ll r_H$ швидкість електрона $𝐯$ спрямована майже паралельно поверхні, $v_x\gg v_y$, то приблизно можна вважати, що сила Лоренца спрямована за нормаллю і дорівнює $F_y=(e/c)v_{x}H$, а кожному значенню $h_n$, яке слід визначити з рівняння (3), відповідає енергія

${\epsilon }_n=\frac{eH{v}_x{h}_n}{c}=\frac{v_x}{2}{\left[\frac{3\pi e\hslash H}{c\sqrt{p}}(n-\frac{1}{4})\right]}^{2/3}.(4)$

Квантова теорія. Загальний випадок

Розглянемо метал, з довільним законом дисперсії електронів провідності $\epsilon =\epsilon \left(𝐩\right)$. Магнітні поверхневі рівні енергії ${\epsilon }_n$ та хвильові функції $\psi (x,y,z)$ можуть бути знайдені з рівняння Шредінгера

$\epsilon (\widehat{𝐩}-\frac{e}{c}𝐀)\psi (x,y,z)=\epsilon \psi (x,y,z)(5)$

з граничними умовами

$\psi (x,0,z)=0;\psi (x,y\to \mathrm{\infty },z)\to 0,(6)$

де $\widehat{𝐩}=\frac{i}{\hslash }\frac{\partial }{\partial 𝐫}$ — оператор квазіімпульсу. Магнітне поле спрямоване вздовж осі $z$ . Виберемо векторний потенціал наступним чином $𝐀=(-Hy,0,0)$. При малих відстанях $y$ від поверхні $y=0$ розкладання гамільтоніана в точці $p_{y0}$, поблизу якої нормальна компонента швидкості $v_{y0}=\partial \epsilon /\partial p_{y0}=0$, має вигляд:

$\hat{\epsilon }=\epsilon ({\hat{p}}_x,p_{y0},{\hat{p}}_z)+\frac{\partial \epsilon }{\partial {\hat{p}}_x}\frac{eHy}{c}-\frac{{\hslash }^2}{2}\frac{{\partial }^2\epsilon }{\partial p_{y0}^2}\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}.(7)$

Хвильова функція визначає вільний рух електрона у площині $xz$ та обмежений квантований рух уздовж осі $y$ :

$\psi (x,y,z)={\phi }_n\left(y\right)\exp (\frac{i}{\hslash }{p}_{x}x+\frac{i}{\hslash }{p}_{z}z).(8)$

Підставляння хвильової функції (8) у рівняння Шредінгера (5) з гамільтоніаном (7) призводить до рівняння для функції ${\phi }_n\left(y\right)$, що збігається з рівнянням Шредінгера для частинки в трикутній квантовій ямі (рівняння для функцій Ейрі). Вирішення цього рівняння, що задовольняє граничній умові $\phi (y\to \mathrm{\infty })\to 0$, виражається через функцію Ейрі 1-го роду, $Ai(y)$ :

$\phi \left(y\right)=C_{n}Ai(\alpha y-\alpha y_{\epsilon }),$

де $C_n$ — нормувальна константа,

$\alpha ={\left(2v_{xo}{m}_{yy0}\frac{eH}{c{\hslash }^2}\right)}^{1/3};y_{\epsilon }=\frac{\epsilon -\epsilon (p_x,p_{y0},p_z)}{eH/c}.$

Тут $v_{x0}=\partial \epsilon /\partial p_x$ — $x$ — компонента швидкості електрона, $m_{yy0}^{-1}={\partial }^2\epsilon /\partial p_{y0}^2$ — відповідна компонента тензора зворотних ефективних мас при $p_y=p_{y0}$. Квантові рівні енергії можуть бути знайдені за допомогою граничної умови ${\phi }_n\left(0\right)=0$, що призводить до вимоги $\alpha y_{\epsilon }=a_n$, де $-a_n$ — нулі функції Ейрі, $Ai(-a_n)=0$ . В результаті отримуємо:

${\epsilon }_n=\frac{{\hslash }^2{\alpha }^2{a}_n}{2m_{yy0}}=\frac{a_n}{2}{\left(\frac{2\hslash eH{v}_{x0}}{c\sqrt{m_{yy0}}}\right)}^{2/3}.(9)$

При досить великих значеннях $n$ справедлива наступна асимптотична формула : $a_n\simeq {[(3\pi /2)(n-1/4)]}^{2/3}$ .

Експериментальне спостереження

Магнітні поверхневі рівні проявляють себе, наприклад, у вигляді резонансів у поверхневому опорі металу, що вимірюється на надвисоких частотах $\omega$ залежно від величини магнітного поля, спрямованого вздовж поверхні. Частоти резонансів задовольняють умові

$\omega ={\omega }_{nm}=\frac{{\epsilon }_n-{\epsilon }_m}{\hslash },$

де рівні енергії ${\epsilon }_{n\left(m\right)}$ визначаються формулою (9), в якій значення швидкість та ефективну масу слід взяти при значенні енергії, рівному енергії Фермі, а проєкцію імпульсу на напрямок магнітного поля, $p_z$, слід визначити з умови екстремуму $\partial {\omega }_{nm}/\partial p_z=0$. Інтервал полів, у якому спостерігається резонансний ефект, становить від сотих часток до одиниць ерстеда при частоті близько 10 ГГц.