Модулярна лямбда-функція

Модулярна лямбда-функція на комплексній площині.

У математиці модулярна лямбда-функція$\lambda (\tau )$ є сильно симетричною голоморфною функцією у верхній півплощині комплексної площини. Вона інваріантна відносно дробово-лінійної дії Шаблон:Нп $\mathrm{\Gamma }(2)$ і породжує поле функцій часткового упорядкування, тобто є головною модулярною функцією для Шаблон:Нп $X(2)$.

У будь-якій точці $\tau$ її значення можна описати як подвійне відношення точок галуження розгалуженого подвійного накриття проективної лінії за допомогою еліптичної кривої $ℂ/⟨1,\tau ⟩$, де відображення визначається як відношення за інволюцією [−1].

$q$-розклад, де $q={\mathrm{e}}^{\pi \mathrm{i}\tau }$ це Шаблон:Нп, визначається наступним чином:

$\begin{array}{c}\lambda (\tau )=16q-128q^2+704q^3-3072q^4+11488q^5-38400q^6+\cdots .\end{array}$ Шаблон:Oeis

Симетризуючи лямбда-функцію відносно канонічної дії симетричної групи ${\mathrm{S}}_3$на $X(2)$, а потім відповідним чином нормалізуючи, можна отримати функцію у верхній півплощині, яка інваріантна відносно повної модулярної групи ${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$, і це фактично модулярний $j$-інваріант Клейна.

A plot of x→ λ(ix)

Модулярні властивості

Функція $\lambda (\tau )$ є інваріантною відносно групи, породженої перетвореннями

$\begin{array}{c}\tau \mapsto \tau +2,\tau \mapsto \frac{\tau }{1-2\tau }.\end{array}$

Генератори модулярної групи діють за правилом

$\begin{array}{c}\tau \mapsto \tau +1:\lambda \mapsto \frac{\lambda }{\lambda -1},\\ \tau \mapsto -\frac{1}{\tau }:\lambda \mapsto 1-\lambda .\end{array}$

Отже, дія модулярної групи на функцію $\lambda (\tau )$ є дією Шаблон:Нп, що визначає шість значень подвійного відношення:

$\begin{array}{c}\{\lambda ,\frac{1}{1-\lambda },\frac{\lambda -1}{\lambda },\frac{1}{\lambda },\frac{\lambda }{\lambda -1},1-\lambda \}\end{array}$

Зв'язок із іншими функціями

Модулярна лямбда-функція є квадратом еліптичного модуля, тобто $\lambda (\tau )=k^2(\tau )$. У термінах Шаблон:Нп $\eta$ і тета-функції модулярну лямбда-функцію можна представити як

$\begin{array}{c}\lambda (\tau )={\left(\frac{\sqrt{2}\eta \left(\frac{\tau }{2}\right){\eta }^2(2\tau )}{{\eta }^3(\tau )}\right)}^8=\frac{16}{{\left(\frac{\eta (\tau /2)}{\eta (2\tau )}\right)}^8+16}=\frac{{\theta }_2^4(\tau )}{{\theta }_3^4(\tau )}\end{array}$

$\begin{array}{c}\frac{1}{(\lambda (\tau ){)}^{1/4}}-(\lambda (\tau ){)}^{1/4}=\frac{1}{2}{\left(\frac{\eta \left(\frac{\tau }{4}\right)}{\eta (\tau )}\right)}^4=2\frac{{\theta }_4^2\left(\frac{\tau }{2}\right)}{{\theta }_2^2\left(\frac{\tau }{2}\right)}\end{array}$

де

$\begin{array}{c}{\theta }_2(\tau )=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{\pi \mathrm{i}\tau (n+1/2{)}^2}\end{array}$

$\begin{array}{c}{\theta }_3(\tau )=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{\pi \mathrm{i}\tau n^2}\end{array}$

$\begin{array}{c}{\theta }_4(\tau )=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{\mathrm{e}}^{\pi \mathrm{i}\tau n^2}\end{array}$

Модулярну лямбда-функцію можна записати у термінах півперіодів еліптичних функцій Вейєрштрасса. Нехай $[{\omega }_1,{\omega }_2]$ — Шаблон:Нп з $\tau =\frac{{\omega }_2}{{\omega }_1}$,

$\begin{array}{c}{e}_1=\mathrm{\wp }\left(\frac{{\omega }_1}{2}\right),e_2=\mathrm{\wp }\left(\frac{{\omega }_2}{2}\right),e_3=\mathrm{\wp }\left(\frac{{\omega }_1+{\omega }_2}{2}\right)\end{array}$

тоді

$\begin{array}{c}\lambda =\frac{e_3-e_2}{e_1-e_2}\end{array}$

Оскільки три значення півперіодів різні, то $\lambda$ не набуває значень 0 або 1.

Модулярна лямбда-функція пов'язана з $j$-інваріантом наступним чином:

$\begin{array}{c}j(\tau )=\frac{256(1-\lambda (1-\lambda ){)}^3}{(\lambda (1-\lambda ){)}^2}=\frac{256(1-\lambda +{\lambda }^2{)}^3}{{\lambda }^2(1-\lambda {)}^2}\end{array}$,

яка є $j$-інваріантом еліптичної кривої у Шаблон:Нп $y^2=x(x-1)(x-\lambda )$.

Модулярні рівняння

Модулярне рівняння степеня $p$ (де $p$ — просте число) — алгебраїчне рівняння на функції $\lambda (p\tau )$ і $\lambda (\tau )$. Якщо $\lambda (p\tau )=u^8$ і $\lambda (\tau )=v^8$, то модулярні рівняння степенів $p=2,3,5,7$ відповідно мають вигляд

$\begin{array}{c}(1+u^4{)}^2{v}^8-4u^4=0\end{array}$

$\begin{array}{c}{u}^4-v^4+2uv(1-u^2{v}^2)=0\end{array}$

$\begin{array}{c}{u}^6-v^6+5u^2{v}^2(u^2-v^2)+4uv(1-u^4{v}^4)=0\end{array}$

$\begin{array}{c}(1-u^8)(1-v^8)-(1-uv{)}^8=0\end{array}$

Змінну $v$ (і, отже, $u$) можна розглядати як голоморфну функцію у верхній півплощині $\mathrm{Im}\tau >0$:

$\begin{array}{cc}v& =\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\tanh \frac{(k-1/2)\pi i}{\tau }=\sqrt{2}{e}^{\pi i\tau /8}\frac{\sum _{k\in \mathbb{Z}}{e}^{(2k^2+k)\pi i\tau }}{\sum _{k\in \mathbb{Z}}{e}^{k^2\pi i\tau }}\\ & =\frac{\sqrt{2}{e}^{\pi i\tau /8}}{1+\frac{e^{\pi i\tau }}{1+e^{\pi i\tau }+\frac{e^{2\pi i\tau }}{1+e^{2\pi i\tau }+\frac{e^{3\pi i\tau }}{1+e^{3\pi i\tau }+\ddots }}}}\end{array}$

Оскільки $\lambda (\mathrm{i})=1/2$, то модулярні рівняння можна використовувати для отримання алгебраїчних значень для $\lambda (p\mathrm{i})$ для будь-якого простого числа $p$.

Алгебраїчні значення для $\lambda (n\mathrm{i})$ також визначаються за допомогою формул

$\begin{array}{c}\lambda (n\mathrm{i})=\prod _{k=1}^{n/2}{\mathrm{sl}}^8\frac{(2k-1)\varpi }{2n},\text{якщо}n\text{парне}\end{array}$,

$\begin{array}{c}\lambda (n\mathrm{i})=\frac{1}{2^n}\prod _{k=1}^{n-1}{(1-{\mathrm{sl}}^2\frac{k\varpi }{n})}^2,\text{якщо}n\text{непарне}\end{array}$,

де $\mathrm{sl}$ — лемніскатний синус і $\varpi$ — лемніскатна стала.

Лямбда-зірка

Означення та обчислення лямбда-зірки

Функція ${\lambda }^{*}(x)$ (де $x\in {ℝ}^{+}$) дає значення еліптичного модуля $k$, для якого повний еліптичний інтеграл першого роду $K(k)$ і його доповняльний аналог $K\left(\sqrt{1-k^2}\right)$ пов'язані таким співвідношенням:

$\begin{array}{c}\frac{K\left[\sqrt{1-{\lambda }^{*}(x{)}^2}\right]}{K[{\lambda }^{*}(x)]}=\sqrt{x}\end{array}$

Значення ${\lambda }^{*}(x)$ можна обчислити так:

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}(x)=\frac{{\theta }_2^2\left(\mathrm{i}\sqrt{x}\right)}{{\theta }_3^2\left(\mathrm{i}\sqrt{x}\right)}\end{array}$

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}(x)={[\sum _{a=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\exp [-(a+1/2{)}^2\pi \sqrt{x}]]}^2{[\sum _{a=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\exp (-a^2\pi \sqrt{x}\left)\right]}^{-2}\end{array}$

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}(x)=[\sum _{a=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{sech}[(a+1/2)\pi \sqrt{x}\left]\right]{[\sum _{a=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{sech}(a\pi \sqrt{x}\left)\right]}^{-1}\end{array}$

Функції ${\lambda }^{*}$ і $\lambda$ пов'язані одна з одною за допомогою співвідношення:

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}(x)=\sqrt{\lambda \left(\mathrm{i}\sqrt{x}\right)}\end{array}$.

Властивості лямбда-зірки

Будь-яке ${\lambda }^{*}$ значення додатного раціонального числа є додатним алгебраїчним числом:

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}(x\in {\mathbb{Q}}^{+})\in {𝔸}^{+}\end{array}$

Як довели Селберг і Чоула в 1949 році, $K({\lambda }^{*}(x))$ і $E({\lambda }^{*}(x))$(повний еліптичний інтеграл другого роду можна представити в замкненій формі в термінах гамма-функції для будь-якого $x\in {\mathbb{Q}}^{+}$.

Наступне співвідношення справедливе для всіх $n\in \mathbb{N}$:

$\begin{array}{c}\sqrt{n}=\sum _{a=1}^n\mathrm{dn}[\frac{2a}{n}K\left[{\lambda }^{*}\left(\frac{1}{n}\right)\right];{\lambda }^{*}\left(\frac{1}{n}\right)]\end{array}$

де $\mathrm{dn}$ — еліптична функція Якобі дельта амплітуди з модулем $k$.

Знаючи одне ${\lambda }^{*}$ значення, цю формулу можна використовувати для обчислення пов'язаних ${\lambda }^{*}$ значень:

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}(n^{2}x)={\lambda }^{*}(x{)}^n\prod _{a=1}^n\mathrm{sn}{\{\frac{2a-1}{n}K[{\lambda }^{*}(x)];{\lambda }^{*}(x)\}}^2\end{array}$,

де $n\in \mathbb{N}$, $\mathrm{sn}$ — еліптична функція Якобі синус амплітуди з модулем $k$.

Подальші співвідношення:

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}(x{)}^2+{\lambda }^{*}(1/x{)}^2=1\end{array}$

$\begin{array}{c}[{\lambda }^{*}(x)+1][{\lambda }^{*}(4/x)+1]=2\end{array}$

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}(4x)=\frac{1-\sqrt{1-{\lambda }^{*}(x{)}^2}}{1+\sqrt{1-{\lambda }^{*}(x{)}^2}}=\tan {\{\frac{1}{2}\arcsin [{\lambda }^{*}(x)]\}}^2\end{array}$

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}(x)-{\lambda }^{*}(9x)=2[{\lambda }^{*}(x){\lambda }^{*}(9x){]}^{1/4}-2[{\lambda }^{*}(x){\lambda }^{*}(9x){]}^{3/4}\end{array}$

$\begin{array}{c}{\left[\frac{2{\lambda }^{*}(x)}{1-{\lambda }^{*}(x{)}^2}\right]}^{1/2}-{\left[\frac{2{\lambda }^{*}(25x)}{1-{\lambda }^{*}(25x{)}^2}\right]}^{1/2}==2{\left[\frac{2{\lambda }^{*}(x)}{1-{\lambda }^{*}(x{)}^2}\right]}^{1/12}{\left[\frac{2{\lambda }^{*}(25x)}{1-{\lambda }^{*}(25x{)}^2}\right]}^{1/12}+2{\left[\frac{2{\lambda }^{*}(x)}{1-{\lambda }^{*}(x{)}^2}\right]}^{5/12}{\left[\frac{2{\lambda }^{*}(25x)}{1-{\lambda }^{*}(25x{)}^2}\right]}^{5/12}\end{array}$

$\begin{array}{c}{a}^8+b^8-7a^4{b}^4=2\sqrt{2}ab+2\sqrt{2}{a}^7{b}^7\end{array}$

$\begin{array}{c}a={\left[\frac{2{\lambda }^{*}(x)}{1-{\lambda }^{*}(x{)}^2}\right]}^{1/12},b={\left[\frac{2{\lambda }^{*}(49x)}{1-{\lambda }^{*}(49x{)}^2}\right]}^{1/12}\end{array}$

$\begin{array}{c}{a}^{12}-c^{12}=2\sqrt{2}(ac+a^3{c}^3)(1+3a^2{c}^2+a^4{c}^4)(2+3a^2{c}^2+2a^4{c}^4)\end{array}$

$\begin{array}{c}a={\left[\frac{2{\lambda }^{*}(x)}{1-{\lambda }^{*}(x{)}^2}\right]}^{1/12},c={\left[\frac{2{\lambda }^{*}(121x)}{1-{\lambda }^{*}(121x{)}^2}\right]}^{1/12}\end{array}$

$\begin{array}{c}(a^2-d^2)(a^4+d^4-7a^2{d}^2)\left[\right(a^2-d^2{)}^4-a^2{d}^2(a^2+d^2{)}^2]=8ad+8a^{13}{d}^{13},a={\left[\frac{2{\lambda }^{*}(x)}{1-{\lambda }^{*}(x{)}^2}\right]}^{1/12},d={\left[\frac{2{\lambda }^{*}(169x)}{1-{\lambda }^{*}(169x{)}^2}\right]}^{1/12}\end{array}$

Частинні значення

Значення лямбда-зірки для натуральних чисел вигляду $4n-3$:

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}(1)=\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}$

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}(5)=\sin [\frac{1}{2}\arcsin (\sqrt{5}-2\left)\right]\end{array}$

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}(9)=\frac{1}{2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{2}-\sqrt[4]{3})\end{array}$

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}(13)=\sin [\frac{1}{2}\arcsin (5\sqrt{13}-18\left)\right]\end{array}$

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}(17)=\sin \{\frac{1}{2}\arcsin \left[\frac{1}{64}{(5+\sqrt{17}-\sqrt{10\sqrt{17}+26})}^3\right]\}\end{array}$

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}(21)=\sin \{\frac{1}{2}\arcsin [(8-3\sqrt{7})(2\sqrt{7}-3\sqrt{3})\left]\right\}\end{array}$

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}(25)=\frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{5}-2)(3-2\sqrt[4]{5})\end{array}$

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}(33)=\sin \{\frac{1}{2}\arcsin [(10-3\sqrt{11})(2-\sqrt{3}{)}^3]\}\end{array}$

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}(37)=\sin \{\frac{1}{2}\arcsin [(\sqrt{37}-6{)}^3]\}\end{array}$

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}(45)=\sin \{\frac{1}{2}\arcsin [(4-\sqrt{15}{)}^2(\sqrt{5}-2{)}^3\left]\right\}\end{array}$

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}(49)=\frac{1}{4}(8+3\sqrt{7})(5-\sqrt{7}-\sqrt[4]{28})(\sqrt{14}-\sqrt{2}-\sqrt[8]{28}\sqrt{5-\sqrt{7}})\end{array}$

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}(57)=\sin \{\frac{1}{2}\arcsin [(170-39\sqrt{19})(2-\sqrt{3}{)}^3]\}\end{array}$

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}(73)=\sin \{\frac{1}{2}\arcsin \left[\frac{1}{64}{(45+5\sqrt{73}-3\sqrt{50\sqrt{73}+426})}^3\right]\}\end{array}$

Значення лямбда-зірки для натуральних чисел вигляду $4n-2$:

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}(2)=\sqrt{2}-1\end{array}$

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}(6)=(2-\sqrt{3})(\sqrt{3}-\sqrt{2})\end{array}$

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}(10)=(\sqrt{10}-3)(\sqrt{2}-1{)}^2\end{array}$

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}(14)=\tan \{\frac{1}{2}\arctan \left[\frac{1}{8}{(2\sqrt{2}+1-\sqrt{4\sqrt{2}+5})}^3\right]\}\end{array}$

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}(14)=\tan \{\frac{1}{2}\arctan \left[\frac{1}{8}{(2\sqrt{2}+1-\sqrt{4\sqrt{2}+5})}^3\right]\}\end{array}$

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}(18)=(\sqrt{2}-1{)}^3(2-\sqrt{3}{)}^2\end{array}$

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}(22)=(10-3\sqrt{11})(3\sqrt{11}-7\sqrt{2})\end{array}$

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}(30)=\tan \{\frac{1}{2}\arctan [(\sqrt{10}-3{)}^2(\sqrt{5}-2{)}^2\left]\right\}\end{array}$

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}(34)=\tan \{\frac{1}{4}\arcsin \left[\frac{1}{9}\right(\sqrt{17}-4{)}^2]\}\end{array}$

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}(42)=\tan \{\frac{1}{2}\arctan [(2\sqrt{7}-3\sqrt{3}{)}^2(2\sqrt{2}-\sqrt{7}{)}^2\left]\right\}\end{array}$

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}(46)=\tan \{\frac{1}{2}\arctan \left[\frac{1}{64}{(3+\sqrt{2}-\sqrt{6\sqrt{2}+7})}^6\right]\}\end{array}$

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}(58)=(13\sqrt{58}-99)(\sqrt{2}-1{)}^6\end{array}$

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}(70)=\tan \{\frac{1}{2}\arctan [(\sqrt{5}-2{)}^4(\sqrt{2}-1{)}^6\left]\right\}\end{array}$

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}(78)=\tan \{\frac{1}{2}\arctan [(5\sqrt{13}-18{)}^2(\sqrt{26}-5{)}^2\left]\right\}\end{array}$

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}(82)=\tan \{\frac{1}{4}\arcsin \left[\frac{1}{4761}\right(8\sqrt{41}-51{)}^2]\}\end{array}$

Значення лямбда-зірки для натуральних чисел вигляду $4n-1$:

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}(3)=\frac{1}{2\sqrt{2}}(\sqrt{3}-1)\end{array}$

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}(7)=\frac{1}{4\sqrt{2}}(3-\sqrt{7})\end{array}$

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}(11)=\frac{1}{8\sqrt{2}}(\sqrt{11}+3){(\frac{1}{3}\sqrt[3]{6\sqrt{3}+2\sqrt{11}}-\frac{1}{3}\sqrt[3]{6\sqrt{3}-2\sqrt{11}}+\frac{1}{3}\sqrt{11}-1)}^4\end{array}$

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}(15)=\frac{1}{8\sqrt{2}}(3-\sqrt{5})(\sqrt{5}-\sqrt{3})(2-\sqrt{3})\end{array}$

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}(19)=\frac{1}{8\sqrt{2}}(3\sqrt{19}+13){[\frac{1}{6}(\sqrt{19}-2+\sqrt{3})\sqrt[3]{3\sqrt{3}-\sqrt{19}}-\frac{1}{6}(\sqrt{19}-2-\sqrt{3})\sqrt[3]{3\sqrt{3}+\sqrt{19}}-\frac{1}{3}(5-\sqrt{19})]}^4\end{array}$

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}(23)=\frac{1}{16\sqrt{2}}(5+\sqrt{23}){[\frac{1}{6}(\sqrt{3}+1)\sqrt[3]{100-12\sqrt{69}}-\frac{1}{6}(\sqrt{3}-1)\sqrt[3]{100+12\sqrt{69}}+\frac{2}{3}]}^4\end{array}$

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}(27)=\frac{1}{16\sqrt{2}}(\sqrt{3}-1{)}^3{\left[\frac{1}{3}\sqrt{3}\right(\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1)-\sqrt[3]{2}+1]}^4\end{array}$

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}(39)=\sin \{\frac{1}{2}\arcsin \left[\frac{1}{16}(6-\sqrt{13}-3\sqrt{6\sqrt{13}-21})\right]\}\end{array}$

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}(55)=\sin \{\frac{1}{2}\arcsin \left[\frac{1}{512}{(3\sqrt{5}-3-\sqrt{6\sqrt{5}-2})}^3\right]\}\end{array}$

Значення лямбда-зірки для натуральних чисел вигляду $4n$:

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}(4)=(\sqrt{2}-1{)}^2\end{array}$

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}(8)={(\sqrt{2}+1-\sqrt{2\sqrt{2}+2})}^2\end{array}$

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}(12)=(\sqrt{3}-\sqrt{2}{)}^2(\sqrt{2}-1{)}^2\end{array}$

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}(16)=(\sqrt{2}+1{)}^2(\sqrt[4]{2}-1{)}^4\end{array}$

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}(20)=\tan {[\frac{1}{4}\arcsin (\sqrt{5}-2\left)\right]}^2\end{array}$

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}(24)=\tan {\{\frac{1}{2}\arcsin [(2-\sqrt{3})(\sqrt{3}-\sqrt{2})\left]\right\}}^2\end{array}$

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}(28)=(2\sqrt{2}-\sqrt{7}{)}^2(\sqrt{2}-1{)}^4\end{array}$

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}(32)=\tan {\{\frac{1}{2}\arcsin \left[{(\sqrt{2}+1-\sqrt{2\sqrt{2}+2})}^2\right]\}}^2\end{array}$

Значення лямбда-зірки для раціональних дробів:

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{2\sqrt{2}-2}\end{array}$

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{2\sqrt{2}}(\sqrt{3}+1)\end{array}$

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}\left(\frac{2}{3}\right)=(2-\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{2})\end{array}$

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}\left(\frac{1}{4}\right)=2\sqrt[4]{2}(\sqrt{2}-1)\end{array}$

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}\left(\frac{3}{4}\right)=\sqrt[4]{8}(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{2}+1)\sqrt{(\sqrt{3}-1{)}^3}\end{array}$

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}\left(\frac{1}{5}\right)=\frac{1}{2\sqrt{2}}(\sqrt{2\sqrt{5}-2}+\sqrt{5}-1)\end{array}$

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}\left(\frac{2}{5}\right)=(\sqrt{10}-3)(\sqrt{2}+1{)}^2\end{array}$

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}\left(\frac{3}{5}\right)=\frac{1}{8\sqrt{2}}(3+\sqrt{5})(\sqrt{5}-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})\end{array}$

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}\left(\frac{4}{5}\right)=\tan {[\frac{\pi }{4}-\frac{1}{4}\arcsin (\sqrt{5}-2\left)\right]}^2\end{array}$

Інваріанти класу Рамануджана

Інваріанти класу Рамануджана $G_n$ і $g_n$ визначаються як

$\begin{array}{c}{G}_n=2^{-1/4}{\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{n}/24}\prod _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(1+{\mathrm{e}}^{-(2k+1)\pi \sqrt{n}})\end{array}$

$\begin{array}{c}{g}_n=2^{-1/4}{\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{n}/24}\prod _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(1-{\mathrm{e}}^{-(2k+1)\pi \sqrt{n}})\end{array}$

де $n\in {\mathbb{Q}}^{+}$. Для таких $n$ інваріанти класу є алгебраїчними числами.

$\begin{array}{c}{g}_{58}=\sqrt{\frac{5+\sqrt{29}}{2}},g_{190}=\sqrt{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{10}+3)}\end{array}$

Тотожності з інваріантами класу включають

$\begin{array}{c}{G}_n=G_{1/n},g_n=\frac{1}{g_{4/n}},g_{4n}=2^{1/4}{g}_n{G}_n\end{array}$

Інваріанти класів дуже тісно пов'язані з Шаблон:Нп $𝔣$ і ${𝔣}_1$. Справедливі наступні співвідношення між лямбда-зіркою та інваріантами класу:

$\begin{array}{c}{G}_n=\sin \{2\arcsin [{\lambda }^{*}(n)]{\}}^{-1/12}=1/\left[\sqrt[12]{2{\lambda }^{*}(n)}\sqrt[24]{1-{\lambda }^{*}(n{)}^2}\right]\end{array}$

$\begin{array}{c}{g}_n=\tan \{2\arctan [{\lambda }^{*}(n)]{\}}^{-1/12}=\sqrt[12]{[1-{\lambda }^{*}(n{)}^2]/[2{\lambda }^{*}(n)]}\end{array}$

$\begin{array}{c}{\lambda }^{*}(n)=\tan \{\frac{1}{2}\arctan [g_n^{-12}\left]\right\}=\sqrt{g_n^{24}+1}-g_n^{12}\end{array}$

Інші застосування

Мала теорема Пікара

Лямбда-функція використовується в оригінальному доведенні малої теореми Пікара, що ціла нестала функція на комплексній площині не може пропускати більше одного значення. Ця теорема була доведена Пікаром у 1879 р. Припустимо, якщо можливо, що функція $f$ є цілою і не приймає значень 0 і 1. Оскільки функція $\lambda$ голоморфна, то вона має локальну голоморфну обернену функцію $\omega$, що визначена поза 0, 1, $\mathrm{\infty }$. Розглянемо функцію $z\mapsto f(z)$. За Шаблон:Нп функція голоморфна і відображає комплексну площину $ℂ$ у верхню півплощину. Звідси можна легко побудувати голоморфну функцію з $ℂ$ в одиничний круг, яка за теоремою Ліувіля має бути сталою.

Гіпотеза нісенітниці

Шаблон:Докладніше Функція $\tau \mapsto 16/\lambda (2\tau )-8$ є нормалізованою Шаблон:Нп для групи ${\mathrm{\Gamma }}_0(4)$, а її $q$-розклад $q^{-1}+20q-62q^3+\cdots$, Шаблон:Oeis, де $q={\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}\tau }$, є градуйованим характером будь-якого елемента в класі суміжності 4C групи-монстра, що діє на Шаблон:Нп.

Література

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1972), Handbook of Ma\-the\-ma\-ti\-cal Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-61272-0, Zbl 0543.33001
• Chandrasekharan, K. (1985), Elliptic Functions, Grundlehren der ma\-the\-ma\-ti\-schen Wissenschaften, vol. 281, Springer-Verlag, pp. 108—121, ISBN 3-540-15295-4, Zbl 0575.33001
• Conway, John Horton; Norton, Simon (1979), Monstrous moonshine, Bulletin of the London Mathematical Society, 11 (3): 308—339,\\ doi:10.1112/blms/11.3.308, MR 0554399, Zbl 0424.20010
• Rankin, Robert A. (1977), Modular Forms and Functions, Cambridge University Press, ISBN 0-521-21212-X, Zbl 0376.10020
• Reinhardt, W. P.; Walker, P. L. (2010), Elliptic Modular Function, in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
• Borwein, J. M. and Borwein, P. B. Pi \& the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, pp. 139 and 298, 1987.
• Conway, J. H. and Norton, S. P. Monstrous Moonshine. Bull. London Math. Soc. 11, 308—339, 1979.
• Selberg, A. and Chowla, S. ``On Epstein's Zeta-Function. J. reine angew. Math. 227, 86-110, 1967.

Посилання

• Modular lambda function at Fungrim