Векторна міра

Векторна міра — адитивна функція множин, визначена на кільці множин зі значеннями в нормованому просторі. Є узагальненням понять міри, заряду і комплексної міри. Для векторних мір, як і для мір, визначено поняття інтегралу.

Означення

Якщо $ℱ$ є алгеброю множин, а $E$ - нормованим простором, то функція $\nu :ℱ\to E,$, що задовольняє умову

$\nu (A\cup B)=\nu (A)+\nu (B)$

для всіх множин $A,B\in ℱ,$ що мають порожній перетин називається векторною мірою

Якщо $𝔐$ є σ-алгеброю то функція $\nu :𝔐\to E$ називається зліченно адитивною (σ-адитивною) векторною мірою, якщо для кожної послідовності $(A_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ множин із $𝔐$, що попарно не перетинається:

$\nu \left(\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\right)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\nu (A_n)$

Варіація і напівваріація

Нехай $\nu :ℱ\to E$ є векторною мірою, а $\mathrm{\Pi }\subset ℱ$ позначає різні скінченні підмножини із $ℱ$ і для кожної $\mathrm{\Pi }$ її елементи попарно не перетинаються і $\bigcup _{P\in \mathrm{\Pi }}=A.$ Функція $|\nu |:ℱ\to [0,\mathrm{\infty }]$ задана як

$|\nu |(A)=\sup \{\sum _{P\in \mathrm{\Pi }}\Vert \nu (P)\Vert :\mathrm{\Pi }\},$

називається варіацією векторної міри $\nu .$

Функція $\Vert \nu \Vert :ℱ\to [0,\mathrm{\infty }],$ задана як

$\Vert \nu \Vert (A)=\sup \{|x^{\star }\circ \nu |(A):x^{\star }\in E^{\star },\Vert x^{\star }\Vert ⩽1\}$

називається напівваріацією векторної міри $\nu .$

Векторна міра $\nu$ має скінченну варіацію якщо її на усьому просторі є скінченною.

Властивості

• Якщо $𝔐$ є σ-алгеброю пімножин $M,$ a $\nu :𝔐\to ℝ$ є зліченно адитивною функцією множин, до

$|\nu |=\Vert \nu \Vert ={\nu }^{+}+{\nu }^{-},$ де ${\nu }^{+},{\nu }^{-},$ є відповідно додатною і від'ємною варіаціями.

• Варіація векторної міри є адитивною функцією множин. Варіація зліченно адитивної векторної міри є мірою.
• Напівваріація векторної міри є субадитивною та монотонною функцією множин.
• Якщо $\nu$ є векторною мірою, то $\Vert \nu \Vert ⩽|\nu |.$
• Векторна міра з обмеженою варіацією є зліченно адитивною тоді й лише тоді, коли її варіація є зліченно адитивною.
• Нехай $𝔐=\sigma (ℱ)$ (σ-алгебра, породжена алгеброю $ℱ$). Якщо $\nu :𝔐\to E$ є зліченно адитивною векторною мірою з обмеженою варіацією, то для кожного $A\in ℱ$ виконується рівність: $|\nu {|}_{ℱ}|(A)=|\nu |(A).$
• Якщо варіація векторної міри $\nu$ є скінченною мірою, то $\nu$ є зліченно адитивною векторною мірою.
• Множина значень σ-адитивної векторної міри є обмеженою.

Приклади

• Зліченно адитивна векторна міра. Нехай $T:L_{\mathrm{\infty }}[0,1]\to X$ є неперервним лінійним оператором. Тоді можна ввести скінченно адитивну міру значення якої lля кожної вимірної (у сенсі Лебега) множини $A\subset [0,1]$ є рівним:

$\nu (A)=T({\chi }_A),$

де ${\chi }_A$ — характеристична функція. Також для кожного $A\subset [0,1]$

$\Vert \nu (A)\Vert ⩽l(A)\Vert T\Vert ,$ де $l$ — міра Лебега.

Тоді також $\Vert \nu \Vert (A)⩽l(A)\Vert T\Vert ,$

що доводить, що $\nu$ є векторною мірою із скінченною варіацією.

• Векторна міра із скінченною напівваріацією але нескінченною варіацією. Нехай $ℒ{|}_{[0,1]}$ є σ-алгеброю підмножин Лебера множини $[0,1]$. Функція $\nu :ℒ{|}_{[0,1]}\to L_{\mathrm{\infty }}[0,1]$, задана як

$\nu (A)={\chi }_A,$

для $A\in ℒ{|}_{[0,1]}$ має скінченну напівваріацію але нескінченну варіацію.

• Векторна міра із нескінченною варіацією. Нехай $ℱ=\{A\subseteq \mathbb{N}:|A|<{\mathrm{\aleph }}_0\vee |\mathbb{N}\setminus A|<{\mathrm{\aleph }}_0\}.$ Функція $\nu :ℱ\to ℝ$ задана як

$\nu (A)=\{\begin{array}{cc}|A|,& |A|<{\mathrm{\aleph }}_0\\ -|A|,& |\mathbb{N}\setminus A|<{\mathrm{\aleph }}_0\end{array}$

має необмежену варіацію.

Див. також

• Заряд (теорія міри)
• Комплексна міра
• Міра множини

Література

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Kluvánek, I., Knowles, G, Vector Measures and Control Systems, North-Holland Mathematics Studies 20, Amsterdam, 1976.