Локально скінченна міра

У математиці локально скінченною мірою називається міра для якої кожна точка вимірного простору має окіл скінченної міри.

Означення

Нехай $(X,T)$ є гаусдорфовим топологічним простором і нехай $\mathrm{\Sigma }$ є $\sigma$-алгеброю на $X$, яка містить всі відкриті множини із $T$ (тобто кожна відкрита множина є вимірна множина, $\mathrm{\Sigma }$ тоді також містить борелівську $\sigma$-алгебру на $X$). Міра/заряд/комплексна міра $\mu$ задана на $\mathrm{\Sigma }$ називається локально скінченною якщо для кожної точки $p$ простору $X,$ існує відкритий окіл $N_p$ точки $p$ для якого $\mu$-міра множини $N_p$ є скінченною.

Більш стисло $\mu$ є локально скінченною мірою якщо:

$\mathrm{\forall }p\in X,\mathrm{\exists }{N}_p\in T:p\in N_p,\left|\mu \left(N_p\right)\right|<+\mathrm{\infty }.$

Приклади

• Будь-яка будь-яка міра значення якої на всьому просторі є скінченним, зокрема міра ймовірності на $X$ є локально скінченною.
• Міра Лебега і більш загально міра Лебега — Стілтьєса на евклідовому просторі є локально скінченною.
• За означенням, будь-яка міра Радона є локально скінченною.
• Лічильна міра може бути локально скінченна в деяких випадках і не бути в інших: лічильна міра на множині цілих чисел із дискретною топологією є локально скінченною але на дійсній прямій із стандартною топологією не є локально скінченною.